Definizione-Proposizione 7.1 Sia f: X ® Y una applicazione da un insieme X ad uno spazio topologico (Y,t); allora la famiglia di sottoinsiemi di X:
f ^–1 (t) = {f ^–1 (A) | A Î t} è una topologia su X detta topologia immagine inversa relativa ad f, o anche topologia indotta da f su X.

Dimostrazione

Definizione 7.2 Sia (X,t) uno spazio topologico e sia S un sottoinsieme di X non vuoto;
sia i: S ®X l’inclusione, dove i(x) = x, " x Î S.
La topologia immagine inversa relativa ad i è una topologia su S denotata con t_S detta topologia indotta da X su S.
Lo spazio topologico (S,t) si chiama sottospazio dello spazio topologico (X,t). In questo caso X è detto spazio ambiente di S.
E’ immediato osservare che t_S è la famiglia dei sottoinsiemi di S della forma S Ç A al variare di A tra gli aperti di X.

Proposizione 7.3 Sia S Í X un sottospazio di (X, t) allora:

1. C Í S è chiuso in t _S Û $ C’ chiuso in X tale che C’ Ç S = C;

2. Sia B una base per t, allora {B Ç S | B Î B} è una base per t_S.
3. sia x Î S; un sottoinsieme U di S è un intorno di x Û $ U’ intorno di x in X tale che
   U’ Ç S = U;
4. sia T Í S con T¹Æ, allora t_T = (t_S)_T
5. sia W Í S, allora la chiusura di W in S (relativa alla topologia indotta su S), che denoteremo con ^S, è tale che ^S = ^X Ç S

Dimostrazione

Esempi

Esercizi