Esempi sulla Chiusura e il Derivato di un insieme

 

 

Esempio 1

 

Sia R con la topologia euclidea, consideriamo l'insieme S = { n N e n 0} allora la chiusura di S : ;

 

Dotiamo ora R della topologia cofinita, la chiusura di S : = R;

 

 

 

Esempio 2

 

Sia (R2, e), consideriamo il disco aperto Dr((0,0)) = S:

la chiusura di S : = Dr((0,0)){(x, y) | x2+y2 = r2},

in pratica si tratta del disco unito alla circonferenza.

 

Osserviamo che spesso per indicare un disco col bordo troviamo la notazione: .

 

 

Esempio 3

 

Abbiamo visto che ora vediamo qualche esempio in cui vale l'inclusione ma non l'uguaglianza:

Consideriamo in R2 con la topologia euclidea due dischi aperti presi in modo tale che le rispettive frontiere, cio le circonferenze siano tangenti:

vediamo che ST = , la cui chiusura il stesso,

mentre , quindi abbiamo che = = {a};

* Sia R con la topologia euclidea e siano

S = { ; n N e n 0} e T = {- ; n N e n 0}, come nel caso precedente abbiamo che ST = , ma quindi evidente la disuguaglianza.

Vediamo un caso in cui invece vale l'uguaglianza:

consideriamo un qualsiasi insieme non vuoto X con la topologia discreta; sappiamo che ogni sottoinsieme di X sia aperto che chiuso, sappiamo che la chiusura di un insieme chiuso l'insieme stesso, quindi abbiamo .

 

Attenzione! In generale non vale l'uguaglianza!

 

 

 

Esempio 4

 

Consideriamo in (R2,e) consideriamo l'insieme S = {(x, y) | x 0};

allora:

Int(S) = {(x, y) | x < 0},

Fr(S) = {(x, y) | x = 0};

S = Int(S) Fr(S) equivale a dire che S chiuso.

 

 

 

 

Esempio 5

 

Sia R con la topologia euclidea, consideriamo l'insieme S = { ; n N e n 0} allora il derivato di S : D(S) = {0};

 

Dotiamo ora R della topologia cofinita, allora D(S) = R.

 

 

 

Esempio 6

 

Ogni sottoinsieme finito di R ha derivato vuoto e interno vuoto, quindi coincide con la sua frontiera.

 

 

 

Esempio 7

 

Consideriamo R con la topologia euclidea:

se a < b e S uno qualsiasi degli intervalli (a, b], [a, b), [a, b], (a, b), allora Int(S) =(a, b), Fr(S) = {a, b}, D(S) = [a, b] e = [a, b].

 

In R con la topologia cofinita gli insiemi chiusi sono gli insiemi finiti ed R stesso, quindi si ha che se prendiamo S come sopra:

= R,

Int(S) = ,

Fr(S) = R.

 

 

 

Esempio 8

 

Vediamo alcuni esempi in cui vale = S Fr(S) = S D(S):

riprendiamo l'esempio1: S = { ; n N e n 0} abbiamo visto che Fr(S) = S{0}, D(S) = {0} e = S{0} = S Fr(S) = S D(S).

consideriamo in R con la topologia euclidea l'intervallo (a, b) = S, sappiamo che Fr(S)={a, b} e D(S) = [a, b]; = [a, b] = SFr(S) = SD(S).

 

 

 

Esempio 9

 

L'insieme dei numeri razionali Q denso in R, infatti la chiusura di Q R.

 

 

 

Esempio 10

 

Riprendiamo l'esempio7: sia R con la topologia cofinita e S uno degli intervalli definiti sopra; abbiamo visto che = R, quindi in questo caso, gli intervalli sono densi in R.