Dimostrazione

 

 

 

a)      Int(T) è unione di tutti gli aperti contenuti in T, ma Int(S) Í S Í T quindi Int(S) è un aperto contenuto in T, quindi è contenuto in Int(T);

b)      Proviamo l'inclusione "Í":

" x Î Int (SÇT) $ U_x intorno di x tale che U_x Í SÇT Þ U_x Í S e U_x Í T quindi x appartiene a Int(S) e Int(T) Þ appartiene alla loro intersezione;

proviamo l'inclusione "Ê":

" x Î Int(S) Ç Int(T) significa che x Î Int(S) e x Î Int(T) Þ $ U_x e V_x tali che U_x ÍS e V_x ÍT ma x Î U_x ÇV_x che è un suo intorno contenuto in S Ç T;

c)     

proviamo l'inclusione:

"x appartiene a  Int(S)  È Int(T)",  significa che x Î Int(S) oppure x Î Int(T) . Quindi esistono due aperti U_x e V_x tali che U_x ÍS e V_x ÍT ma allora x ÎU_x Ç V_x che è un suo intorno contenuto in SÈT.

Notiamo però che non vale in generale:    SÈT = Int(S)  È Int(T) ; ad esempio si può avere che se SÈT è  un disco aperto, e S è un suo semidisco aperto (senza punti del diametro) e T è il suo complementare, Int(S)  È Int(T)  non contiene i punti del diametro.

d)      l'interno di un aperto è l'insieme stesso, Int(S) è aperto quindi il suo interno è Int(S) stesso.