Dimostrazione

 

 

 

Sia A aperto con A Í S, proviamo che A Í Int (S):

per la prop.3.2 A è intorno di ogni suo punto, sia x Î A, scriviamo x Î A Í S che vuol dire che esiste un intorno di x, che è A, tutto contenuto in S quindi x è punto interno ad S, cioè " x Î A, x Î Int (S) Þ A Í Int (S).

Proviamo ora che Int (S) è aperto:

sia x Î Int (S) Þ $ U_x intorno di x tale che U_x Í S; possiamo supporre che U_x sia aperto, allora U_x Í Int(S) e quindi Int(S) = quindi Int(S) è aperto.