Coerenza e modelli

    Intorno al 1870 le principali Geometrie non Euclidee  erano state introdotte e studiate intensamente. Rimaneva però da dare una risposta, prima di poterle considerare branche legittime della matematica, al problema fondamentale della loro coerenza.
    Tutte le ricerche compiute da Gauss (1777-1855), Lobachevsky (1793-1856), Bolyai (1812-1860), Klein (1849-1925) e Riemann (1826-1866) avrebbero potuto rivelarsi prive di senso se in esse fossero state scoperte delle contraddizioni.

    Per quanto riguardava la Geometria Iperbolica erano conosciute solamente delle prove relative di coerenza, la prima, dovuta a Bolyai e Lobachevsky, riduceva il problema della coerenza ad un problema di analisi reale.

    L'unica geometria ritenuta coerente era quella Euclidea, così si pensò di risolvere il problema creando dei modelli di Geometrie non Euclidee e di mettere in corrispondenza i loro enti, relazioni fra enti e relazioni logiche con quelli della Geometria Euclidea.

    Quindi se queste teorie fossero state incoerenti, allora sarebbe esistita una corrispondente incoerenza anche nella Geometria Euclidea; mentre il supporre la coerenza della Geometria Euclidea portava di conseguenza che le relazioni logiche dei vari modelli non sarebbero state contraddittorie, avvalorando così la coerenza degli stessi.
    Questa soluzione del problema dimostrò anche l'indipendenza del quinto postulato dagli altri, cioè attraverso la coerenza della Geometrie non Euclidee si provò che il postulato delle parallele non può essere provato a partire dagli altri postulati  (essendo coerente con gli altri una sua negazione).

    Per i matematici della fine del XIX secolo la coerenza della Geometria Euclidea poteva difficilmente essere messa in discussione perché, a parte l'opinione di uomini quali Gauss, Lobachevsky, Bolyai e Riemann, per tutti gli altri la Geometria Euclidea era ancora la geometria necessaria del mondo fisico e appariva inconcepibile che ci fossero proprietà contraddittorie in essa.
    E' tuttavia importante rendersi conto che la dimostrazione della coerenza di molte geometrie non euclidee dipende dalla coerenza della Geometria Euclidea.

    Lobachevsky e Bolyai si erano posti questo problema, ma non erano stati capaci di risolverlo. In realtà, anche se Bolyai pubblicò la sua Geometria non Euclidea, ci sono prove che egli nutriva dei dubbi circa la sua coerenza perché dalle carte trovate dopo la sua morte risulta evidente che egli continuò a tentare di dimostrare il postulato delle parallele.

    La coerenza della Geometria Iperbolica ed Ellittica fu dimostrata mediante la costruzione di nuovi modelli. Con la nuova definizione di distanza riferita al modello della Geometria non Euclidea presa in considerazione, gli altri enti derivati soddisfano gli Assiomi della geometria in questione. Ne segue che anche i Teoremi della nuova geometria si applicano alle figure proprie del modello dove Assiomi e Teoremi della Geometria non Euclidea sono in realtà asserzioni intorno a figure e concetti particolari della Geometria Euclidea e, poiché gli Assiomi e i Teoremi in questione si applicano a a queste figure e a questi concetti considerati come appartenenti alla Geometria Euclidea, tutte le asserzioni delle Geometrie non Euclidee si traducono in Teoremi della Geometria Euclidea e quindi, se ci fosse una contraddizione nella nuova geometria, questa sarebbe una contraddizione nella Geometria Euclidea.
Perciò se la Geometria Euclide è coerente, anche la Geometria non Euclidea presa in considerazione lo è. In  questo modo la coerenza delle Geometrie non Euclidee è stata ricondotta alla coerenza della Geometria Euclidea.

    Il fatto che le Geometrie non Euclidee siano coerenti, implica che il postulato euclideo delle parallele sia indipendente dagli altri Postulati. Infatti, se ciò non fosse, cioè se il postulato delle parallele potesse essere derivato dagli altri Postulati, allora esso sarebbe anche un Teorema della Geometria non Euclidea in questione perché, a parte questo, gli altri Postulati della Geometria Euclidea sono anche Postulati della Geometria non Euclidea; il teorema derivato dal postulato delle parallele contraddirrebbe però l'assioma delle parallele della Geometria non Euclidea, che sarebbe perciò incoerente.