La Geometria Iperbolica e la Geometria Ellittica

    Le Geometrie non Euclidee nascono a livello assiomatico dallaGeometria Assolutae dalla negazione del quinto postulato. Riguardando l'enunciato del quinto postulato, equivalente a quello di Euclide, formulato da Playfair (1748-1819):
 

 Postulato 5:

 Data una retta ed un punto non appartenente ad essa, esiste ed è unica una retta passante per il punto e parallela alla retta data

    Ci si accorge subito che la sua negazione è legata ai concetti di unicità e di esistenza della retta parallela, quindi le possibili negazioni sono due, una che nega l'unicità della parallela e l'altra che nega la sua esistenza .
    Indicandole  rispettivamente con N1 e N2 le negazioni  sono così formulate:
 

N1.  Data una retta ed un punto non appartenente ad essa, esistono infinite rette passanti per il punto e parallele alla retta data.

N2.  Data una retta ed un punto non appartenente ad essa, non esiste alcuna retta passante per il punto e parallela alla retta data.
 

    In ognuno dei due nuovi sistemi assiomatici il quinto postulato  viene sostituito da una delle sue negazioni cioè in una Geometria non Euclidea il quinto postulato fa posto a N1 e  nell'altra al posto del postulato delle parallele si ha l'asserto N2.

    Sostituendo il  quinto postulato con un altro asserto equivalente:

In un triangolo la somma degli angoli interni è di 180°

    Si ha che le negazioni N1 e N2 diventano:
 

N1.  In un triangolo la somma degli angoli interni è minore di 180°

N2.  In un triangolo la somma degli angoli interni è maggiore di 180°
 
 

                                         Figura 13. triangolo iperbolico          Figura 14. triangolo riemanniano
 
 

    Quindi nella geometria in cui vale N1  esistono infinite parallele ad una retta passanti per un punto esterno ad essa e i triangoli risultano "sgonfiati" perché la somma dei loro angoli interni è minore di 180°; nella Geometria in cui vale N2  non esiste alcuna parallela ad un retta e passante per un punto esterno ad essa e i triangoli sono "gonfiati" perchè la somma degli angoli interni è un valore più grande di 180°.
 
 

     La geometria scoperta da Gauss (1777-1855), Jànos Bolyai (1812-1860) e Lobachevsky (1793-1856) è la prima Geometria non Euclidea ed è conosciuta come Geometria Iperbolica, nome dato dal matematico Felix Klein (1849-1925) nel 1871. In Greco "iperbole" significa "eccesso" e in tale geometria il numero delle rette parallele ad una retta data e passanti per un punto fissato è in "eccesso" rispetto a quello della Geometria Euclidea.

    L'altra Geometria introdotta da Riemann (1826-1866) ed a cui Klein ha dato il nome di Ellittica, si nega l'esistenza rette parallele.