Riemann

    Abbiamo visto come la Geometria non Euclidea vide la luce dopo secoli di ricerche sul postulato delle parallele. L'interesse per questo postulato derivava dal fatto che esso, in quanto postulato, avrebbe dovuto essere una verità evidente. Poiché i Postulati della geometria vengono da proprietà fondamentali dello spazio fisico e vaste branche della matematica e della fisica usano le proprietà della Geometria Euclidea, i matematici volevano essere sicuri di basarsi su delle verità. In altre parole, il problema del postulato delle parallele non era soltanto un genuino problema fisico, ma il più fondamentale dei problemi fisici possibili.

    I dubbi intorno alla geometria dello spazio fisico sollevati dalle ricerche di Gauss (1777-1855), Lobachevsky (1793-1856) e Jànos Bolyai (1812-1860), portarono a una delle maggiori creazioni del XIX secolo, la geometria riemanniana. Il suo creatore fu Georg Bernhard Riemann (1826-1866).

    Anche se i dettagli delle ricerche di Lobachevsky e di Bolyai non gli erano conosciuti, essi erano noti a Gauss, e Riemann conosceva certamente i dubbi di Gauss circa la verità e la necessaria applicabilità della Geometria Euclidea. Così, nel campo della geometria, Riemann seguì Gauss; Gauss assegnò a Riemann il tema dei fondamenti della geometria come quello su cui avrebbe dovuto tenere il Habilitationsvortrag, lezione per il conseguimento del titolo di Privatdozent. La lezione fu tenuta nel 1854 dinanzi la facoltà di Gottingen, presente Gauss, e fu pubblicata nel 1868 con il titolo Uber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria).
In un lavoro sulla conduzione del calore, Riemann trovò necessario considerare più volte le sue idee sulla geometria e in esso diede alcune elaborazioni tecniche del lavoro del 1854. Questo lavoro del 1861 fu pubblicato postumo nel 1876.

    La geometria dello spazio presentata da Riemann non era soltanto un'estensione della geometria di Gauss. Essa riconsiderava l'intero approccio allo studio dello spazio. Riemann affrontò il problema di determinare quali sono i fatti concernenti lo spazio fisico intorno ai quali possiamo essere certi. Uno degli obiettivi di Riemann era quello di dimostrare che i Postulati di Euclide erano verità empiriche e non, come si era creduto, verità di per sé evidenti.
Egli adottò l'approccio analitico perché nelle dimostrazioni geometriche si può essere indotti dalle proprie percezioni ad assumere erroneamente dei fatti non riconosciuti esplicitamente.

    Così l'idea di Riemann era che, basandosi sull'analisi, si può partire da ciò che è sicuramente a priori riguardo allo spazio e dedurne le conseguenze necessarie.
Tutte le proprietà dello spazio sarebbero quindi state empiriche. Gauss si era occupato di questo stesso problema, ma delle sue ricerche fu pubblicato soltanto il saggio sulle superfici curve. La ricerca di Riemann di ciò che è a priori lo condusse a studiare il comportamento locale dello spazio o, in altre parole, l'approccio geometrico differenziale in quanto opposto alla considerazione dello spazio come un tutto, quale lo si trova in Euclide o nella Geometria non Euclidea di Gauus, Bolyai e Lobachevsky. Guidato in larga misura dalla geometria intrinseca delle superfici dello spazio euclideo di Gauss, Riemann sviluppò una geometria intrinseca per uno spazio qualsiasi; è da notare che egli preferì trattare la Geometria a n dimensioni, estendendo così anche in questa direzione il concetto di "Geometria".
Il secondo concetto fondamentale contenuto nel lavoro di Riemann del 1854 era la nozione di curvatura di una struttura geometrica, mediante la quale cercò di caratterizzare lo spazio euclideo (come la struttura a "curvatura zero").

    Verso la fine del lavoro Riemann notò che, dal momento che lo spazio è un particolare tipo di struttura geometrica, la sua geometria non poteva essere derivata soltanto dalle nozioni generali sulle varie strutture. Le proprietà che distinguono  lo spazio fisico dalle altre strutture geometriche triplamente infinite possono essere ricavate soltanto dall'esperienza.

    Nel suo lavoro Riemann costruì una geometria ipotizzando una nozione di spazio, piano, retta ecc. diversa da quella che era alla base del sistema euclideo e studiò la possibilità di uno spazio illimitato e finito, giustificata dal fatto che l' "illimitatezza" è un concetto relativo all' "estensione", quindi è di tipo "qualitativo", mentre quello di "infinità" si riferisce alla "misura". Quindi si poteva ipotizzare uno spazio che fosse contemporaneamente "illimitato" e "finito"; ad esempio una retta illimitata e finita è una linea chiusa.