Il modello di Klein

    Questo è un modello di Geometria Iperbolica.  Si fissa una conica K irriducibile (un'ellisse o una circonferenza), e si danno le seguenti interpretazioni degli enti primitivi (vedi figura 15):
 

• con "punto" si intende un punto interno a K;

quindi i punti appartenenti al bordo della conica non sono inclusi in questo modello.

• con "retta" si intende una corda di K con estremi esclusi;

• con "piano" si intende l'insieme dei punti interni a K.

                                                                                            Figura 15.
 
 
 
 

    Richiamando la definizione di rette parallele che sono due rette che non si intersecano, le due rette PA e PB  sono parallele ad  AB, infatti i punti A e B non appartengono al piano dell'ellisse perchè appartengono al bordo e quindi non sono considerati, quindi PA e PB non hanno alcuna intersezione con AB e, per la definizione di parallele prima ricordata, sono entrambe parallele ad AB.
    PA e PB sono le due rette che segnano il limite tra le rette parallele ad AB e quelle che intersecano AB stesso, perciò vi sono infinite rette passanti per P e parallele ad AB.