Il modello di Poincarè

In questo modello
 

• il piano è la regione delimitata da una circonferenza, con l'esclusione della stessa;

• il punto è ogni punto interno alla circonferenza;

quindi i punti appartenenti al bordo della circonferenza non sono inclusi in questo modello

• la retta è ogni diametro della circonferenza e ogni arco di circonferenza ortonormale e interno a questa (vedi figura 16).

                                                                                       Figura 16.
 
 
 
 

    Si dimostra che per due punti del piano di Poincaré passa una e una sola retta. E' evidente che, presa una retta del piano e scelto un punto non appartenente ad essa, esistono infinite rette passanti per quel punto e parallele alla retta data (le rette che si intersecano sui punti della circonferenza in realtà non hanno alcuna intersezione perché i punti sul bordo non fanno parte del modello, quindi sono parallele). Anche il modello di Poincaré è un modello di geometria iperbolica.