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Convenzione: affermando che è un piano affine desarguesiano con assi fissati e , intendiamo che $l_x,l_y$ sono due rette di $\mathcal{P}$ incidenti in un punto $O$ e che su esse sono fissati due punti $I, I'$ distinti da $O$; relativamente a tali punti consideriamo la struttura di corpo di $l_x$ e $l_y$ e l'isomorfismo di corpi che fa corrispondere ad un punto $P$ di $l_x$ il punto $P'$ di $l_y$ come già definito.
Come sempre ci riferiremo ad esempio al corpo $(l_x,O,I_x)$ piú semplicemente come a $l_x$.

Sia $\mathcal{P}$ un piano affine desarguesiano con assi fissati $l_x,l_y$.
Vogliamo far vedere che ogni retta $l$ di $\mathcal{P}$ è costituita da tutti e soli i punti le cui coordinate , soddisfano ad una qualche equazione lineare del tipo $x\cdot a +y\cdot b +c=0$ con $a,b,c$ elementi del corpo $l_x$ e $a, b$ non entrambi nulli (e diremo piú brevemente che $l$ ha come equazione $x\cdot a +y\cdot b +c=0$ o equivalentemente che $l$ soddisfa l'equazione $a\cdot x+b\cdot y+c=0$) e viceversa mostreremo che un'equazione di questo tipo individua una retta di $\mathcal{P}$ (probabilmente il lettore è stato abituato a scrivere i coefficienti di un'equazione come la precedente a destra, ma a noi torna piú comodo scriverli a sinistra e siccome in piano affine desarguesiano ma non pappiano la moltiplicazione fra punti non è commutativa non si tratta di una differenza a priori di poco conto).

3. OSSERVAZIONI Poiché, come osservato, i punti $O$, $I$, $I'$ hanno coordinate rispettivamente $(O,O)$, $(I,O)$, $(O,I)$ e ogni punto $P$ su $l_x$ ha coordinate $(P,O)$ e ogni punto $Q$ su $l_y$ ha coordinate $(O,Q)$, allora è chiaro che $l_x$ è descritta dall'equazione $y=O$ e $l_y$ è descritta dall'equazione $x=O$.
Poiché analogamente tutti i punti di una retta $l$ parallela a $l_x$ devono avere la medesima seconda coordinata coincidente con il punto $Q$ corrispondente tramite al punto $Q$ di intersezione tra $l$ e $l_y$, allora $l$ sarà descritta da un'equazione del tipo $y=Q$ (si noti la natura duplice di $Q$ come punto di $\mathcal{P}$ ed elemento del corpo $(l_x,O,I)$, chiaramente non specifichiamo tutte le volte, confidando che il contesto chiarirà la situazione).
Identicamente le rette parallele alla retta $l_y$ hanno equazione del tipo $x=P$ per qualche elemento $P$ del corpo $l_x$.


Per mostrare che i punti di ogni retta soddisfano una certa equazione lineare ci servono alcuni risultati preliminari.

4. PROPOSIZIONE Sia $\mathcal{P}$ un piano affine desarguesiano con assi fissati $l_x,l_y$.
Sia $m$ una retta passante per $O$ ma diversa da $l_x$ e $l_y$ e siano $P, Q$ punti distinti su $m$ rispettivamente di coordinate $(P_x,P_y)$ e $(Q_x,Q_y)$.
Allora vale         
$l(P'_y,P_x)\parallel l(Q'_y,Q_x)$.



DIMOSTRAZIONE Basta usare il Teorema di Desargues applicato alle terne $P,P'_y,P_x$ e $Q,Q'_y,Q_x$.


Grazie alla proposizione precedente possiamo associare ad ogni retta per $O$ distinta dagli assi il punto $M$ su $l_x$ tale che $l(I',M)\parallel l(P'_y,P_x)$ per ogni punto su $m$ di coordinate $(P_x,P_y)$.

5. PROPOSIZIONE Sia $\mathcal{P}$ un piano affine desarguesiano con assi fissati $l_x,l_y$.
Sia $m$ una retta passante per $O$ ma diversa da $l_x$ e $l_y$e sia $M$ il punto su $l_x$ tale che $l(I',M)\parallel l(P'_y,P_x)$ per ogni punto su $m$ di coordinate $(P_x,P_y)$; allora $m$ è il luogo dei punti le cui coordinate , soddisfano l'equazione lineare $x=y\cdot M$.

DIMOSTRAZIONE Sia $P\in m$ di coordinate $(P_x,P_y)$ e diverso da $O$; moltiplichiamo $P_y$ e $M$ servendoci dei punti $I'$ (e $P'_y$).
Poiché $l(P'_y,P_x)\parallel l(I',M)$ allora segue che $P_x= P_y\cdot M$.
Poiché evidentemente anche $O=O\cdot M$ anche l'origine soddisfa l'equazione $x=y\cdot M$.
Quanto fatto non ci garantisce che non ci siano altri punti in $\mathcal{P}$ non giacenti su $m$ ma che soddisfino all'equazione $x=y\cdot M$.
Vogliamo far vedere che questo non accade:

siano $X,Y \in l_x$ tali che $X=Y\cdot M$; dimostriamo che il punto $Z$ di $\mathcal{P}$ che ha coordinate $(X,Y)$ giace su $m$.
Sia $P$ un punto su $m$ diverso da $O$ e con coordinate $(P_x,P_y)$; se $(P_x,P_y)=(X,Y)$ allora il punto $Z$ sta su $m$ e siamo a posto.
Altrimenti, calcolando $Y\cdot M$ usando $I'$ e $P'_y$, otteniamo che $l(I',M)$ è parallela alla retta $l(Y',X)$ e quindi $l(I',M)$ è parallela a $l(P'_y,P_x)$.
Ora applicando il Teorema di Desargues B alle terne $Y',Z,X$ e $P'_y,P,P_x$ otteniamo che $l(Y',P'_y),\; l(Z,P),\; l(X,P_x)$ sono parallele o concorrenti.
Poiché quindi $l(Y',P'_y)$ e $l(X,P_x)$ passano per $O$ allora anche $l(Z,P)$ passa per $O$ e dunque coincide con $m$.

6. PROPOSIZIONE Sia $\mathcal{P}$ un piano affine desarguesiano di assi $l_x,l_y$ come al solito.
Sia $k$ una retta non passante per $O$ e non parallela a $l_y$ e incidente $l_x$ in un punto $C$.
Sia $m$ la retta parallela a $k$ passante per $O$; allora, se $m$ è descritta dall'equazione $x=y\cdot M$, $k$ è descritta dall'equazione $x=y\cdot M+C$.


DIMOSTRAZIONE Sia $Q$ un punto su $k$ distinto da $C$ e sia $n$ la parallela a $l_x$ passante per $Q$; sia $P$ il punto di intersezione di $n$ e $m$; potremo dire che $P$ ha coordinate $(P_y\cdot M, P_y)$ e quindi $Q$ avrà coordinate $(Q_x,P_y)$ come mostrato in figura.
Calcoliamo la somma $C+P_y \cdot M $ utilizzando $P$ e $Q$ e poiché $l(P,P_y\cdot M)\parallel l_y \parallel l(Q,Q_x)$ otteniamo che $Q_x = C+P_y \cdot M $ e quindi $Q$ soddisfa l'equazione $x=C+y\cdot M$. Viceversa ogni punto le cui coordinate soddisfano tale equazione sta in $k$ come si vede imitando la dimostrazione della proposizione precedente.


Possiamo compendiare i risultati ottenuti nell'enuciato del seguente teorema:

7. TEOREMA Sia $\mathcal{P}$ un piano affine desarguesiano con assi $l_x$ e $l_y$; allora

  • se $l$ è una retta e $l\parallel l_x$ allora $l$ soddisfa l'equazione $y=Q$ ove $Q$ è il punto di intersezione di $l$ con $l_y$,
  • se $r$ è una retta e $r\parallel l_y$ allora $r$ soddisfa l'equazione $x=P$ ove $P$ è il punto di intersezione di $r$ con $l_x$,
  • se $m$ è una retta e $m\neq l_x$,$m\neq l_l$ e $O\in m$ allora $m$ soddisfa l'equazione $x=y\cdot M$ ove $M$ è il punto già descritto in precedenza,
  • se $m$ come sopra e $k$ è una retta tale che $k\parallel m$, $k\cap l_x=\{C\}$, allora $k$ ha equazione $x=y\cdot M+C$.

Chiaramente ogni retta rientra in uno e uno solo dei casi contemplati.

8. COROLLARIO Sia $\mathcal{P}$ un piano affine desarguesiano (risp. pappiano), sia $l$ una retta in $\mathcal{P}$ e $O,I$ due punti distinti su $l$ e sia $\mathbf{K}$ il corpo (risp. campo) $(l,O,I)$; allora $\mathcal{P}$ è identificabile con il piano affine coordinato $\mathbf{K}^2$.

DIMOSTRAZIONE È il contenuto di teorema 7 e di teorema 2

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