TORNA ALLA HOME PAGE TORNA ALL'ELENCO DELLE SEZIONI





precedente
successivo

2. TEOREMA Sia $\mathcal{P}$ un piano affine desarguesiano (risp. pappiano); siano $l$ una retta e $O,I\in l$ due punti distinti; sia $\mathbf{K}$ il corpo (risp. campo) $(l,O,I)$; allora esiste una corrispondenza biunivoca tra $\mathcal{P}$ e $\mathbf{K}^2$.

DIMOSTRAZIONE Sia $l_y$ una retta incidente $l$ in $O$ e sia $I'\in l_y$ un punto arbitrario distinto da $O$; se poniamo $l_x:=l$, allora sappiamo dal teorema precedente che i corpi $l_x$ e $l_y$ sono isomorfi e che ogni punto $A'$ in $l_y$ è immagine tramite l'isomorfismo esibito $\phi$ di un punto $A$ in $l_x$ che si ottiene come illustrato in figura (in modo tale cioè che $l(A,A')\parallel l(I,I')$).
Sia $P\in\mathcal{P}$ e siano $m$ la retta passante per $P$ e parallela a $l_y$ e $k$ la retta passante per $P$ e parallela a $l_x$; sia $P_x$ il punto di intersezione fra $m$ e $l_x$ e sia $P'_y$ il punto di intersezione fra $k$ e $l_y$ e consideriamo $P_y$, la sua immagine inversa tramite $\phi$ su $l_x$.
L'associazione $P \leftrightarrow (P_x ,P_y)$ chiaramente istituisce una corrispondenza biunivoca che fa al caso nostro e si dice che le coordinate di $P$, rispetto agli assi fissati, sono $(P_x,P_y)$.


Nel seguito eviteremo la notazione, peraltro diffusa, $P=(P_x,P_y)$ ma diremo semplicemente che $P$ ha coordinate $(P_x,P_y)$.
Si osservi che se $P\in l_x$ allora $P$ ha coordinate $(P,O)$, mentre se $Q\in l_y$ allora $Q$ ha coordinate $(O,Q)$ e in particolare $O$ ha coordinate$ (O,O)$, $I$ ha coordinate $ (I,O)$ e $I'$ ha coordinate $(O,I)$.

MAPPA DEL SITO ______ vai in cima alla pagina_______________ precedente__ successivo________________________