COORDINATIZZAZIONE DI UN PIANO AFFINE

Nella sezione precedente abbiamo assegnato alle rette di un piano affine desarguesiano (risp. pappiano) la struttura di corpo (risp. campo).
Scegliendo rette distinte dello stesso piano affine oppure origine o punto unità differenti sulla stessa retta otteniamo corpi (risp. campi) diversi, ma intuitivamente "sostanzialmente" identici, e dimostreremo a breve che in effetti sono isomorfi.
Quindi sarà cosí possibile associare ad un piano affine $\mathcal{P}$ desarguesiano (risp. pappiano) un corpo (risp. campo) $\mathbf{K}$ unico a meno di isomorfismi.
A quel punto, fissando due rette incidenti in un punto -gli assi coordinati- sarà possibile istituire una corrispondenza biunivoca tra $\mathcal{P}$ e $\mathbf{K}^2$ , assegnare cioè ad ogni punto di $\mathcal{P}$ una coppia ordinata di elementi di $\mathbf{K}$ -le coordinate di .
Le rette di $\mathcal{P}$ risulteranno essere descritte come luogo dei punti le cui coordinate soddisfano equazioni lineari a coefficienti in $\mathbf{K}$ , completando cosí l'analogia con i metodi della geometria analitica.

In conclusione otterremo che i piani affini coordinati su un corpo (risp. campo) $\mathbf{K}$ rappresentano tutti e soli i modelli di piano desarguesiano (risp. pappiano). Ciò dimostrerà anche l'equivalenza tra gli assiomi geometrici di piano affine pappiano e la definizione algebrica del capitolo "Geometria affine da un punto di vista algebrico".

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