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Ricordiamo che due anelli $\mathrm{A},\mathrm{A}'$ si dicono isomorfi se esiste un'applicazione biunivoca $\phi:\mathrm{A}\longrightarrow\mathrm{A}'$ tale che $\phi(a+b)=\phi(a)+\phi(b)$, $\phi(a\cdot b)=\phi(a)\cdot \phi(b)$, $\forall\;a,b\in \mathrm{A}$ e $\phi(1_{\mathrm{A}})=1_{\mathrm{A}'}$.
Due corpi si dicono isomorfi se lo sono come anelli, identicamente due campi.

1. TEOREMA Sia $\mathcal{P}$ un piano affine desarguesiano (ma non necessariamente pappiano) e siano $l,m $ due rette in $\mathcal{P}$; scelti $O,I\in l$, $\;$ $O\neq I$ e $O',I'\in m$, $\;$ $O'\neq I'$ sappiamo che $(l,O,I)$ e $(m,O',I')$ sono due corpi (vedi teorema 8 della sezione "Struttura algebrica"); dimostriamo che $(l,O,I)$ e $(m,O',I')$ sono isomorfi.


DIMOSTRAZIONE
CASO 1 Supponiamo $l\cap m=\{O\}=\{O'\}$.
Dobbiamo trovare un isomorfismo $\phi$ di corpi tra $(l,O,I)$ e $(m,O',I')$: definiamo $\phi$ come applicazione di insiemi tra le rette $l$ e $m$ nel modo seguente:

  • $\phi(O)=O$
  • $\phi(I)=I'$
  • $\phi(X)=X'$ ove $X'$ è il punto di intersezione di $m$ con la retta passante per $X$ e parallela a $l(I,I')$.

Poiché se $X,Y\in l$ allora $l(X,X')\parallel l(Y,Y')$ si ha che $\phi$ è iniettiva e suriettiva.
Dobbiamo far vedere che $\phi$ conserva la moltiplicazione e l'addizione.

  • $\phi$ conserva l'addizione: $\phi(P+Q)=\phi(P)+\phi(Q)$$\;$ $\forall\; P,Q\in l$
    cioè con le nostre notazioni $(P+Q)'=P'+Q'$.

    Calcoliamo $P+Q$ utilizzando $P'$ (e $S$) e calcoliamo $Q'+P'$ utilizzando $P$ (e $T$); cosí operando otteniamo $l(P',Q)\parallel l(S,P+Q)$ e $l(P,P')\parallel l(T,Q'+P')$.
    Utilizzando il Teorema di Desargues relativamente ai triangoli $T,S,P+Q$ e $ Q',P',Q$ otteniamo che $l(T,P+Q) \parallel l(Q',Q)$; ma abbiamo che $l(T,Q'+P')\parallel l(P,P')\parallel l(Q,Q')$ e questo implica che $P+Q,T$ e $Q'+P'$ sono allineati lungo una retta parallela a $l(P,P')$.
    Siccome $l(P+Q,(P+Q)')\parallel l(P.P')$ avremo proprio che $(P+Q)'=P'+Q'$.

  • $\phi$ conserva la moltiplicazione: $\phi(P\cdot Q)=\phi(P)\cdot \phi(Q)$ $\;$ $\forall\; P,Q\in l$
    cioè con le nostre notazioni $(P\cdot Q)'=P' \cdot Q'$.

    Per mostrare che $\phi$ conserva la moltiplicazione calcoliamo $P\cdot Q$ utilizzando $I'$ (e $P'$) e calcoliamo $P'\cdot Q'$ utilizzando $I$ (e $P$); poi calcoliamo $P'\cdot Q'$ utilizzando $Q$ (e $P\cdot Q$); quindi $l(Q,Q')\parallel l(P\cdot Q,P' \cdot Q')$ e dunque proprio $(P\cdot Q)'=P' \cdot Q'$.


CASO 2 Supponiamo $l=m$, $ O=O'$, $I\neq I'$; sia $k$ una qualsiasi retta passante per $O$ e diversa da $l$ e $I^{\ast}$ un punto di $k$ diverso da $O$.
Grazie a quanto ottenuto in CASO 1 otteniamo che $(l,O,I)$ è isomorfo a $(k,O,I^{\ast})$ e $(k,O,I^{\ast})$ è isomorfo a $(l,O,I')$ e di qui segue la tesi.

CASO 3 Supponiamo $l\parallel m,\;l\neq m$.
Senza ledere la generalità possiamo supporre che $l(O,O')$ e $l(I,I')$ siano incidenti -se cosí non fosse potremmo scegliere un diverso punto $I'$ e utilizzare CASO 2- e sia dunque sia $X$ il loro punto di intersezione.
Se $P\in l$ definiamo $\phi(P)=P'=l(P,X)\cap m$ e otteniamo cosí nuovamente un'applicazione biunivoca tra $l$ e $m$. Facciamo vedere che si tratta di un isomorfismo tra i corpi $(l,O,I)$ e $(m,O',I')$:
  • $\phi$ conserva l'addizione: infatti, dati $P,Q\in l$ calcoliamo $P+Q$ utilizzando $X$ (e $T$) e calcoliamo $P'+Q'$ utilizzando $X$ (e $T'$).
    Applicando il Teorema di Desargues B alle terne $P, T, (P+Q)$ e $P', T', (P+Q)'$ otteniamo che $P'+Q', X$ e $P+Q$ sono allineati e di qui $P'+Q'=(P+Q)'$.
  • $\phi$ conserva la moltiplicazione: infatti moltiplichiamo $P$ e $Q$ utilizzando $X$ (e $S$) e moltiplichiamo $P'$ e $Q'$ utilizzando $X$ (e $S'$).
    Ancora una volta applicando il Teorema di Desargues B alle terne $P,S, P\cdot Q$ e $P',S', P'\cdot Q'$ otteniamo che $P\cdot Q, X,P'\cdot Q' $ devono essere allineati e quindi come prima $(P'\cdot Q')=P\cdot Q$.


CASO 4 Supponiamo $l=m$, $ O \neq O'$.
Sia $k\parallel l$,$k\neq l$ e siano $O^{\ast},I^{\ast}$ due punti distinti su $k$; allora sappiamo da CASO 3 che $(l,O,I)$ è isomorfo a $(k,O^{\ast},I^{\ast})$ e identicamente anche $(m,O',I')$ è isomorfo a $(k,O^{\ast},I^{\ast})$; di qui concludiamo per transitività.

CASO 5 Supponiamo $l$ e $m$ incidenti in un punto arbitrario $X$ eventualmente coincidente con $O$ o $O'$, ma che per CASO 2 possiamo supporre distinto da $I$ e $I'$.
Da CASO 4 sappiamo che $(l,O,I)$ è isomorfo a $(l,X,I)$ e $(m,O'I')$ è isomorfo a $(m,X,I')$ e quindi possiamo concludere applicando CASO 1.


In particolare se è pappiano otteniamo che i due campi e sono isomorfi.
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