Classificazione

Proposizione

Dimostrazione di riduzione

Osservazioni

Classificazione Euclidea

Dimostrazione del Teorema 3 Sia $\,\mathcal{Q} \,$ una quadrica d'equazione (1.1). Mostriamo che $\,\mathcal{Q} \,$ è riducibile ad una delle $\,17 \,$ equazioni dell'enunciato. Sia $\,\mathcal{Q} \,$ una quadrica non degenere a centro ( $\Leftrightarrow \; r(\mathcal{A}) = 4 \;$e$\;r(\mathcal{A}_0) = 3$); possiamo considerare la sua equazione della forma

$$c_1 x^2 + c_2 y^2 + c_3 z^2 - 1 = 0;$$

dove $\;c_i = -\displaystyle\frac{{\lambda_i \,det \mathcal{A}_0}}{{det \mathcal{A}}}$ e $\;\lambda_i \neq 0 \;\;\forall \:i$.

Analizziamo le varie possibilità per i segni delle $1,c_i:$
Affinchè siano tutti positivi occorre che $\;\lambda_1,\:\lambda_2,\:\lambda_3 \;$ abbiano lo stesso segno, che sarà anche il segno di $\,det \mathcal{A}_0 = \lambda_1\lambda_2\lambda_3$. Di conseguenza i prodotti $\,\lambda_i \,det \mathcal{A}_0 \,$ saranno positivi, indipendentemente dal segno dei $\,\lambda_i \,$, quindi per essere $\, c_i > 0 \,$ occorre che $\, det \mathcal{A} < 0$.
Siamo allora nel caso in cui $\,\mathcal{A}_0 \,$ è definita positiva o negativa e $\, det \mathcal{A} < 0$. Se poniamo $\;a_i = 1 / \sqrt{c_i}$   per$\:i = 1, 2, 3,$ otteniamo una superficie d'equazione

$$\displaystyle\frac{x^2}{a_1^2}+\displaystyle\frac{y^2}{a_2^2} +\displaystyle\frac{z^2}{a_3^2}-1=0$$

detta ellissoide reale.


Se due dei $\,c_i\,$ sono positivi e uno negativo, possiamo assumere che $\,c_1\,$ e $\,c_2\,$ siano positivi e $\,c_3\,$ sia negativo. Abbiamo allora che $\,\lambda_1 > 0,\;\lambda_2 >0 \;$e$\;\lambda_3 <0,$ oppure $\,\lambda_1 < 0,\;\lambda_2 <0 \;$e$\;\lambda_3 >0$. Nel primo caso $\,det \mathcal{A}_0 <0 \,$ e quindi per avere $\;c_1 = -\frac{\lambda_1 \,det \mathcal{A}}{det \mathcal{A}_0} >0$ occorre che sia $\,det \mathcal{A} >0$. Analogamente nel secondo caso si avrà $\,det \mathcal{A}_0 >0\,$ e $\,det \mathcal{A} >0$.
Siamo nel caso in cui $\,\mathcal{A}_0 \,$ ha segnatura $\,(2,1)\,$ oppure $\,(1,2)$, e $\,det \mathcal{A} >0$. Se poniamo $\;a_1 = 1 / \sqrt{c_1},\, a_2 = 1 / \sqrt{c_2},\,$ e $\;a_3 = 1 / \sqrt{-c_3} \,$ otteniamo una superficie d'equazione

$$\displaystyle\frac{x^2}{a_1^2}+\displaystyle\frac{y^2}{a_2^2} -\displaystyle\frac{z^2}{a_3^2}-1=0$$

detta iperboloide a una falda.


Il caso in cui un solo $\,c_i\,$ è positivo (ad esempio $\,c_1$) e gli altri due negativi è analogo al precedente. Abbiamo, cioè, $\,\mathcal{A}_0 \,$ con segnatura $\,(2,1)\,$ oppure $\,(1,2)$, e $\, det \mathcal{A} < 0$. Dopo l'opportuna sostituzione l'equazione diventa

$$\displaystyle\frac{x^2}{a_1^2}-\displaystyle\frac{y^2}{a_2^2} -\displaystyle\frac{z^2}{a_3^2}-1=0$$

Questa quadrica si chiama iperboloide a due falde.


L'ultimo caso si ha quando tutti i $\,c_i\,$ sono negativi. Questo si avrà quando $\,\mathcal{A}_0 \,$ è definita positiva o negativa e $\,det \mathcal{A} >0$. Dopo l'opportuna sostituzione l'equazione diventa

$$\displaystyle\frac{x^2}{a_1^2}+\displaystyle\frac{y^2}{a_2^2} +\displaystyle\frac{z^2}{a_3^2}+1=0$$

Questa quadrica si chiama ellissoide a punti non reali.


Se $\,\mathcal{Q} \,$ è una quadrica non degenere senza centro, abbiamo visto che la sua equazione è del tipo

$$-\frac{\lambda_1}{b}x^2-\frac{\lambda_2}{b}y^2-2z\;= \; 0$$

con $\:b=\sqrt{-\displaystyle\frac{{det \mathcal{A}}}{{\lambda_1\lambda_2}}}\;>0\,$. Supponiamo di avere gli autovalori $\,\lambda_1,\,\lambda_2 \,$ dello stesso segno,ad esempio entrambi negativi (altrimenti cambiamo segno a z). Effettuando la sostituzione $\;a_1 = \sqrt{-b/ \lambda_1},\,$ $\;a_2 = \sqrt{-b/ \lambda_2} \,$ l'equazione diventa

$$\displaystyle\frac{x^2}{a_1^2}+\displaystyle\frac{y^2}{a_2^2}-2z=0;$$

questa quadrica si chiama paraboloide ellittico.


Se gli autovalori hanno segno opposto, $\,\lambda_1<0 \;$e$\;\lambda_2>0 \,$, effettuando la sostituzione $\;a_1 = \sqrt{-b/ \lambda_1},\,$ $\;a_2 = \sqrt{ b/ \lambda_2} \,$ l'equazione diventa

$$\displaystyle\frac{x^2}{a_1^2}-\displaystyle\frac{y^2}{a_2^2}-2z=0;$$

questa quadrica si chiama paraboloide iperbolico.


Esaminiamo ora le quadriche degeneri; Sia $\,\mathcal{Q} \,$ una quadrica di rango 3; ci sono tre possibilità: il rango ridotto di $\,\mathcal{Q} \,$, o $\,r(\mathcal{A}_0)$, può essere 3, 2 o 1. Se $\,r(\mathcal{A}_0) = 3\,$ si tratta di una quadrica a centro la cui equazione è del tipo

(*)            $\lambda_1x^2+\lambda_2y^2+\lambda_3z^2\;= \; 0$.     

Supponiamo che gli autovalori siano dello stesso segno, ad esempio tutti positivi; allora effettuando la sostituzione $\;a_1 = 1 / \sqrt{\lambda_1},\, a_2 = 1 / \sqrt{\lambda_2},\,$ e $\;a_3 = 1 / \sqrt{\lambda_3} \,$ otteniamo l'equazione

$$\displaystyle\frac{x^2}{a_1^2}+\displaystyle\frac{y^2}{a_2^2} +\displaystyle\frac{z^2}{a_3^2}=0$$

che descrive un cono con un unico punto reale.


Se gli autovalori sono uno positivo e due negativi oppure due positivi e uno negativo allora effettuando la sostituzione $\;a_1 = 1 / \sqrt{\lambda_1},\, a_2 = 1 / \sqrt{\lambda_2},\,$ e $\;a_3 = 1 / \sqrt{-\lambda_3} \,$ otteniamo l'equazione

$$\displaystyle\frac{x^2}{a_1^2}+\displaystyle\frac{y^2}{a_2^2} -\displaystyle\frac{z^2}{a_3^2}=0$$

che descrive un cono reale.


Se invece $\,r(\mathcal{A}_0) = 2\,$ si tratta ancora di una quadrica a centro la cui equazione è del tipo

(**)             $$-\frac{\lambda_1}{c}x^2-\frac{\lambda_2}{c}y^2-1\;= \; 0$$                 

con $\,c \neq 0$. Se si verifica il caso in cui i due autovalori hanno stesso segno allora mediante una sostituzione opportuna otteniamo una delle due equazioni

$$\begin{array}{cc} \displaystyle\frac{x^2}{a_1^2}+\displays... ...}{a_1^2}+\displaystyle\frac{y^2}{a_2^2}+1=0 \\ \end{array}$$

a seconda del segno del termine costante $\,c$.Le equazioni descrivono rispettivamente un cilindro ellittico e un cilindro a punti non reali.


Se gli autovalori hanno segno opposto si ottiene allora

$$\displaystyle\frac{x^2}{a_1^2}-\displaystyle\frac{y^2}{a_2^2} -1=0$$

che descrive un cilindro iperbolico.



Se infine $\,r(\mathcal{A}_0) = 1\,$ si tratta di una quadrica senza centro la cui equazione è del tipo

(***)            $$-\frac{\lambda_1}{b}x^2-2z\;= \; 0$$           

con $\:b>0\,$. Indipendentemente dal segno di $\,\lambda_1 \,$ si ottiene, mediante la sostituzione $\;a = \sqrt{-b/ \lambda_1} \,$, l'equazione

$$\displaystyle\frac{x^2}{a_1^2}-2z\,=\,0$$

che descrive un cilindro parabolico.


Sia ora $\,\mathcal{Q} \,$ una quadrica di rango 2; si possono avere i casi $\,r(\mathcal{A}_0) = 2\,$ oppure 1. In entrambi i casi le quadriche hanno centro.
Nel primo caso si ha un autovalore nullo; supponiamo si tratti di $\,\lambda_3 \,$ Ragionando come al solito rispetto al segno di $\,\lambda_1 \;$e$\;\lambda_2 \,$ si hanno le equazioni

$$\begin{array}{cc} \displaystyle\frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2... ...ystyle\frac{x^2}{a_1^2}-\frac{y^2}{a_2^2}=0 \\ \end{array}$$

corrispondenti al caso in cui gli autovalori abbiano stesso segno e quello in cui i segni siano opposti.
Le equazioni descrivono, rispettivamente una coppia di piani complessi coniugati incidenti e una coppia di piani reali incidenti.


Nel secondo caso, cioè con $\,r(\mathcal{A}_0) = 1\,$, si ha il solo autovalore $\,\lambda_1\neq 0$. Adoperando la solita sostituzione otteniamo, a seconda del segno di $\,\lambda_1 \;$   e di$\;c$

$$\begin{array}{cc} \displaystyle\frac{x^2}{a_1^2}+1=0 & \hspace{3cm} \displaystyle\frac{x^2}{a_1^2}-1=0 \\ \end{array}$$

che descrivono, rispettivamente una coppia di piani complessi coniugati distinti e paralleli e una coppia di piani reali distinti e paralleli.



Concludiamo la trattazione col caso di una quadrica di rango 1. Ovviamente anche il rango ridotto è 1 $\;\Rightarrow \;\lambda_1 \neq 0. \,$ Tale quadrica ha equazione $\lambda_1 x^2 = 0 \,$ che ovviamente è congruente all'equazione

$$x^2 \,=\,0$$

che descrive un piano doppio cioè il piano $\,x=0\,$ contato due volte.