Definizione

Classificazione nello spazio Complesso

Classificazione nello spazio Reale

    Dimostrazione

Classificazione affine

Dimostrazione:

  Sia $\,\mathcal{Q} \,$ una quadrica d'equazione (1.1). Possiamo ripetere esattamente i primi due passi della dimostrazione del teorema 1 ed ottenere quindi una distinzione dei vari tipi di quadriche espressa dalle equazioni (2.2), (2.3), (2.4), (2.5) e (2.6).
Ripartiamo dunque da:

Passo 3:    normalizzazione dei coefficienti.

Sia $\,\mathcal{Q} \,$ una quadrica a centro; È stata, dunque, trasformata nella quadrica d'equazione (2.2); possiamo supporre che $\,c_{00} \,$ sia $\,-1\:$ (se $\,c_{00} \neq 0 \,$ basta moltiplicare primo e secondo membro della (2.2) per $\,-c_{00}^{-1} \,$) ed eseguire la trasformazione

$$\left\{ \begin{array}{l} x' = \displaystyle\frac{x}{\sqrt... ...\frac{z}{\sqrt{\vert a_{33}\vert}} \\ \end{array} \right.$$

con la quale ci si riconduce ad una delle seguenti forme (a seconda dei segni dei coefficienti):

$$\begin{array}{ll} x^2+y^2+z^2-1 \,=\,0; \hspace{1cm} & x^2... ...,=\,0; \hspace{1cm} & x^2-y^2-z^2-1 \,=\,0. \\ \end{array}$$

Se invece $\:c_{00} = 0 \:$, utilizzando sempre la trasformazione precedente, la quadrica $\,\mathcal{Q} \,$ risulta essere affinemente equivalente a una delle due forme:

$$x^2+y^2+z^2 \,=\,0; \hspace{1cm} x^2+y^2-z^2 \,=\,0.$$

Abbiamo così ottenuto sei equazioni della lista. Le prime quattro rappresentano i casi di quadriche non degeneri a centro che sono: ellissoidi e iperboloidi; le altre due rappresentano il caso di una quadrica degenere a centro cioè il cono. Sia ora $\,\mathcal{Q} \,$ una quadrica non a centro.
Supponiamo sia stata trasformata nella quadrica d'equazione (2.3); possiamo supporre che sia $\,d_{00} = -1\;$. Mediante la trasformazione

$$\left\{ \begin{array}{l} x' = \displaystyle\frac{x}{\sqrt... ..._{22}\vert}} \\ \, \\ z' = z \\ \end{array} \right.$$

otteniamo rispettivamente, al variare dei segni dei coefficienti, le quadriche d'equazione

$$x^2+y^2-1 \,=\,0; \hspace{1cm} \hspace{1cm} x^2-y^2-1 \,=\,0;$$

$$-x^2-y^2-1 \,=\,0 \hspace{1cm}\Longleftrightarrow \hspace{1cm} x^2+y^2+1 \,=\,0.$$

Se invece $\:d_{00} = 0 \:$, utilizzando sempre la trasformazione precedente, la quadrica $\,\mathcal{Q} \,$ risulta essere affinemente equivalente a una delle due forme:

$$x^2+y^2 \,=\,0; \hspace{1cm} x^2-y^2 \,=\,0.$$

Se, invece, $\,\mathcal{Q} \,$ è stata trasformata nella quadrica d'equazione (2.4), eseguendo la trasformazione

$$\left\{ \begin{array}{l} x' = \displaystyle\frac{ x}{\sqr... ... = \displaystyle\frac{z}{-2a_{03}} \\ \end{array} \right.$$

otteniamo le quadriche d'equazione

$$x^2+y^2-z \,=\,0; \hspace{1cm} x^2-y^2-z \,=\,0.$$

Esse rappresentano il caso di quadrica non degenere, non a centro (paraboloide). Se $\,\mathcal{Q} \,$ è stata trasformata nella quadrica d'equazione (2.5) è immediato verificare che tale superficie è affinemente equivalenete all'equazione

$$x^2 \,=\,0$$   se$$\:d_{00} = 0;$$

se abbiamo $\,d_{00} \neq 0 \,$, supposto al solito $\,d_{00} = 1,\,$ la quadrica è affinemente equivalente a una delle due equazioni:

$$\begin{array}{ll} x^2 - 1 \,=\,0 \hspace{2cm} & \mbox{se} ... ...,=\,0 \hspace{2cm} & \mbox{se} \:a_{11} < 0.\\ \end{array}$$

Se infine $\,\mathcal{Q} \,$ è stata trasformata nella quadrica d'equazione (2.6) possiamo supporre $\,a_{11} > 0 \,$ ed eseguendo la trasformazione

$$\left\{ \begin{array}{l} x'' = \displaystyle\frac{x}{\sqr... ...-2{a_{02}}} \\ \, \\ z'' = z \\ \end{array} \right.$$

otteniamo la quadrica d'equazione

$$x^2-y \,=\,0.$$

Abbiamo così esaurito tutti i possibili casi di equazione di una quadrica in $\,A^3(\mathbb {R})$. Ognuna di esse è affinemente equivalente ad una sola forma canonica del teorema in quanto ogni quadrica della lista differisce dalle altre per qualche invariante affine.