Definizione

Classificazione nello spazio Complesso

    Dimostrazione

Classificazione nello spazio Reale

Classificazione affine

Passo 2:    eliminazione dei termini di primo grado e del termine costante.

Supponiamo che $\,\mathcal{Q} \,$ sia a centro. Applicando il metodo del completamento dei quadrati alla (2.1) otteniamo

$$a_{11} \left( x + \displaystyle\frac{a_{01}}{a_{11}} \right)^2 + ... ...rac{a_{02} ^2}{a_{22}} - \displaystyle\frac{a_{03} ^2}{a_{33}} + b_{00} = 0.$$

Quindi attraverso la trasformazione affine (si tratta di una traslazione)

$$\left\{ \begin{array}{l} x = x' - \displaystyle\frac{a_{0... ...\displaystyle\frac{a_{03}}{a_{33}} \\ \end{array} \right.$$

l'equazione (2.1) si trasforma nella seguente:

$$a_{11}x'^2+a_{22}y'^2+a_{33}z'^2+c_{00}\;= \; 0$$ (2.2)  

dove $\,c_{00} \in \mathbb {C} \,$ si ottiene in funzione dei coefficiente della (2.1). Sia $\,\mathcal{Q} \,$ una quadrica non a centro e supponiamo, salvo cambiare fra loro le variabili, che $\,a_{11} \neq 0, a_{22} \neq 0 \:$e$\: a_{33} = 0 \,$, la quadrica diagonalizzata sarà: $a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{01}x+2a_{02}y+2a_{03}z+a_{00}\;= \; 0$.
Applicando il metodo del completamento dei quadrati e quindi la trasformazione

$$\left\{ \begin{array}{l} x = x' - \displaystyle\frac{a_{0... ...02}}{a_{22}} \\ \, \\ z = z' \\ \end{array} \right.$$

otteniamo: $\;a_{11}x'^2+a_{22}y'^2+2a_{03}z'+d_{00}\;= \; 0$.

Ora se $\,a_{03} = 0 \,$ otteniamo l'equazione

$$a_{11}x'^2+a_{22}y'^2+d_{00}\;= \; 0.$$ (2.3)  

Se invece $\,a_{03} \neq 0 \,$ attraverso un'ulteriore trasformazione del tipo:

$$\left\{ \begin{array}{l} x' = x'' \displaystyle\frac{}{} ... ...displaystyle\frac{d_{00}}{2a_{03}} \\ \end{array} \right.$$

l'equazione della quadrica diventa

$$a_{11}x''^2+a_{22}y''^2+2a_{03}z''\;= \; 0.$$ (2.4)  

Se supponiamo, invece, $\,\mathcal{Q} \,$ quadrica non a centro e abbiamo, salvo cambiare fra loro le variabili, che $\,a_{11} \neq 0, \:$e$\: a_{22} = a_{33} = 0 \,$, la quadrica diagonalizzata sarà: $a_{11}x^2+2a_{01}x+2a_{02}y+2a_{03}z+a_{00}\;= \; 0$.
Attraverso la trasformazione

$$\left\{ \begin{array}{l} x = x' - \displaystyle\frac{a_{0... ...\ z = z' \displaystyle\frac{}{} \\ \end{array} \right.$$

vediamo che $\,\mathcal{Q} \,$ è affinemente aquivalente alla quadrica

$$a_{11}x'^2+2a_{02}y'+2a_{03}z'+d_{00}\;= \; 0.$$

Consideriamo il caso in cui $\,a_{02} \neq 0 \:$e$\:a_{03} = 0 \,$; se si verificasse l'opposto, cioè $\,a_{02} = 0 \:$e$\:a_{03} \neq 0 \,$, scambiando tra loro gli assi $\:\textbf{y} \:$e$\:\textbf{z}\:$ si ricadrebbe nel caso considerato.
Abbiamo, dunque, l'equazione $\;a_{11}x'^2+2a_{02}y'+d_{00}\;= \; 0.$
Ora se $\,a_{02} = 0 \,$ otteniamo la quadrica d'equazione

$$a_{11}x'^2+d_{00}\;= \; 0.$$ (2.5)  

Se, invece, $\,a_{02} \neq 0 \,$ attraverso la trasformazione

$$\left\{ \begin{array}{l} x' = x'' \\ y' = y'' - \displ... ...ac{d_{00}}{2a_{02}} \\ z' = z'' \\ \end{array} \right.$$

Otteniamo la quadrica d'equazione

$$a_{11}x''^2+2a_{02}y''\;= \; 0.$$ (2.6)  

Esaminando il caso in cui $\,a_{02} \neq 0 \:$e$\:a_{03} \neq 0 \,$ se consideriamo l'affinità

$$\left\{ \begin{array}{l} x' = x'' + y'' + z''\displaystyl... ... z' = z'' \displaystyle\frac{}{} \\ \end{array} \right.$$

si ottiene un'equazione del tipo:

$$a_{11}x''^2+a_{11}y''^2+a_{11}z''^2+ 2a_{11}x'' y''+2a_{11}x'' z''+2a_{11}y'' z''+ 2a_{02}y''+2a_{03}z''+d_{00} = 0.$$

Possiamo ridurre tale equazione con i metodi visti nel passo 1 e nel passo 2 ed ottenerne una del tipo:

$$a_{11}x''^2+a_{11}(y'')^2+a_{11}(z'')^2+b_{00} = 0.$$

Torniamo, dunque, in uno dei casi precedentemente trattati.               (Passo 3)