Classificazione affine

Passo 3: normalizzazione dei coefficienti.

Sia $\,\mathcal{Q} \,$ una quadrica a centro; È stata, dunque, trasformata nella quadrica d'equazione (2.2); possiamo supporre che $\,c_{00} \,$ sia $\,-1\:$ oppure $\:0$ (se $\,c_{00} \neq 0 \,$ basta moltiplicare primo e secondo membro della (2.2) per $\,-c_{00}^{-1} \,$ ). Mediante la trasformazione

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} x' = \displaystyle\frac{x}{\sqrt... ...isplaystyle\frac{z}{\sqrt{a_{33}}} \\ \end{array} \right. \end{displaymath}$

otteniamo rispettivamente le quadriche d'equazione

$\displaystyle x^2+y^2+z^2-1 \,=\,0$ e $\displaystyle \hspace{1cm} x^2+y^2+z^2 \,=\,0$

ossia prima e terza della lista del teorema. (Notare che $\: \mathbb {C} \:$ è algebricamente chiuso, quindi $\:\exists$ sempre $\quad \sqrt{\ldots} \;$ )
Sia ora $\,\mathcal{Q} \,$ una quadrica non a centro.
Supponiamo sia stata trasformata nella quadrica d'equazione (2.3); possiamo supporre che $\,d_{00} \,$ sia $\,-1\;$ oppure $\; 0$ . Mediante la trasformazione

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} x' = \displaystyle\frac{x}{\sqrt... ...qrt{a_{22}}} \\ \, \\ z' = z \\ \end{array} \right. \end{displaymath}$

otteniamo rispettivamente le quadriche d'equazione

$\displaystyle x^2+y^2-1 \,=\,0$ e $\displaystyle \hspace{1cm} x^2+y^2 \,=\,0$

ossia la quarta e la sesta della lista del teorema. Se, invece, $\,\mathcal{Q} \,$ è stata trasformata nella quadrica d'equazione (2.4); eseguendo la trasformazione

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} x'' = \displaystyle\frac{x}{\sqr... ... = \displaystyle\frac{z}{-2a_{03}} \\ \end{array} \right. \end{displaymath}$

otteniamo la quadrica d'equazione

$\displaystyle x^2+y^2-z \,=\,0$

ossia la seconda della lista del teorema.
Se $\,\mathcal{Q} \,$ è stata trasformata nella quadrica d'equazione (2.5) è immediato verificare che tale superficie è affinemente equivalente all'equazione

$\begin{displaymath} \begin{array}{ll} x^2 - 1 \,=\,0 \hspace{2cm} & \mbox{se} ... ...^2 \,=\,0 \hspace{2cm} & \mbox{se} \:d_{00} = 0; \end{array} \end{displaymath}$

cioè, le ultime due equazioni della lista del teorema.
Se infine $\,\mathcal{Q} \,$ è stata trasformata nella quadrica d'equazione (2.6) eseguendo la trasformazione

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{l} x'' = \displaystyle\frac{x}{\sqr... ...-2{a_{02}}} \\ \, \\ z'' = z \\ \end{array} \right. \end{displaymath}$

otteniamo la quadrica d'equazione

$\displaystyle x^2-y \,=\,0$

ossia la quinta della lista del teorema.

Abbiamo così esaurito tutti i possibili casi di equazione di una quadrica in $\,A^3(\mathbb {C}) \,$ e ognuna di esse è affinemente equivalente ad una sola forma canonica del teorema.