ClockDefinizione

Clock Classificazione nello spazio Complesso
    ClockDimostrazione

Clock Classificazione nello spazio Reale

Classificazione affine



Passo 3:    normalizzazione dei coefficienti.

Sia $ \,\mathcal{Q} \,$ una quadrica a centro; È stata, dunque, trasformata nella quadrica d'equazione (2.2); possiamo supporre che $ \,c_{00} \,$ sia $ \,-1\:$oppure$ \:0$ (se $ \,c_{00} \neq 0 \,$ basta moltiplicare primo e secondo membro della (2.2) per $ \,-c_{00}^{-1} \,$). Mediante la trasformazione

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
x' = \displaystyle\frac{x}{\sqrt...
...isplaystyle\frac{z}{\sqrt{a_{33}}} \\
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

otteniamo rispettivamente le quadriche d'equazione

$\displaystyle x^2+y^2+z^2-1 \,=\,0$   e$\displaystyle \hspace{1cm}
x^2+y^2+z^2 \,=\,0
$

ossia prima e terza della lista del teorema. (Notare che $ \:
\mathbb {C} \: $ è algebricamente chiuso, quindi $ \:\exists$   sempre$ \quad \sqrt{\ldots} \;$)
Sia ora $ \,\mathcal{Q} \,$ una quadrica non a centro.
Supponiamo sia stata trasformata nella quadrica d'equazione (2.3); possiamo supporre che $ \,d_{00} \,$ sia $ \,-1\;$   oppure$ \; 0$. Mediante la trasformazione

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
x' = \displaystyle\frac{x}{\sqrt...
...qrt{a_{22}}} \\
\, \\
z' = z \\
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

otteniamo rispettivamente le quadriche d'equazione

$\displaystyle x^2+y^2-1 \,=\,0$   e$\displaystyle \hspace{1cm} x^2+y^2 \,=\,0
$

ossia la quarta e la sesta della lista del teorema. Se, invece, $ \,\mathcal{Q} \,$ è stata trasformata nella quadrica d'equazione (2.4); eseguendo la trasformazione

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
x'' = \displaystyle\frac{x}{\sqr...
... = \displaystyle\frac{z}{-2a_{03}} \\
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

otteniamo la quadrica d'equazione

$\displaystyle x^2+y^2-z \,=\,0
$

ossia la seconda della lista del teorema.
Se $ \,\mathcal{Q} \,$ è stata trasformata nella quadrica d'equazione (2.5) è immediato verificare che tale superficie è affinemente equivalente all'equazione

\begin{displaymath}
\begin{array}{ll}
x^2 - 1 \,=\,0 \hspace{2cm} & \mbox{se} ...
...^2 \,=\,0 \hspace{2cm} & \mbox{se} \:d_{00} = 0;
\end{array}
\end{displaymath}

cioè, le ultime due equazioni della lista del teorema.
Se infine $ \,\mathcal{Q} \,$ è stata trasformata nella quadrica d'equazione (2.6) eseguendo la trasformazione

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{l}
x'' = \displaystyle\frac{x}{\sqr...
...-2{a_{02}}} \\
\, \\
z'' = z \\
\end{array}
\right.
\end{displaymath}

otteniamo la quadrica d'equazione

$\displaystyle x^2-y \,=\,0
$

ossia la quinta della lista del teorema.


Abbiamo così esaurito tutti i possibili casi di equazione di una quadrica in $ \,A^3(\mathbb {C}) \,$ e ognuna di esse è affinemente equivalente ad una sola forma canonica del teorema.