Classificazione affine

Dimostrazione:

Sia $\,\mathcal{Q} \,$ una quadrica d'equazione (1.1). Per trasformare $\,\mathcal{Q} \,$ in una delle quadriche dell'enunciato usiamo una sostituzione del tipo (1.3), o, equivalentemente, una successione finita di trasformazioni. Dividiamo la procedura in diversi passi.

Passo 1: eliminazione dei termini misti di grado due.

Dobbiamo, in pratica, diagonalizzare la matrice $\:\mathcal{A}_0 \:$ che rappresenta la parte quadratica di $\:\mathcal{Q}$ . Dato che questa è una matrice $\,3 \times 3 \,$ simmetrica esiste una base diagonalizzante per $\:\mathcal{A}_0 \:$ cioè esiste $\:\mathcal{M} \in GL_3(\mathbb {C}) \,$ tale che $\:\mathcal{B}_0 = \,^t\mathcal{M} \mathcal{A}_0 \mathcal{M} \:$ è diagonale. Possiamo quindi supporre che $\:\mathcal{Q} \:$ abbia equazione

$\displaystyle a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{01}x+2a_{02}y+2a_{03}z+a_{00}\;= \; 0$

(2.1)

Notiamo che $\:\mathcal{Q} \:$ è a centro se e solo se $\:a_{11} a_{22} a_{33} \neq 0$ . (Passo 2)