ClockDefinizione

ClockEquivalenza affine

ClockProprietÓ affini
    ClockOsservazione

ClockQuadriche a centro

Teoria delle quadriche


ProprietÓ affini

Definizione 1   Le proprietà affini (o invarianti affini) sono proprietÓ che una superficie ha in comune con tutte quelle ad esse affinemente equivalenti.

Vediamo quali sono nel caso di una quadrica:
poichè $ \widetilde{\mathcal{M}} \in GL_4(K) \,$ dalla (1.7) si vede che $ \mathcal{B} \;$  e$ \;
\mathcal{A}$  hanno lo stesso rango; quindi il rango di $ \,
\mathcal{A}$ è una proprietà affine della quadrica $ \,
\mathcal{Q}$ che chiameremo rango di $ \,
\mathcal{Q}$ e denoteremo con $ \: r(\mathcal{Q})$.
Analogamente, dalla (1.8) si vede che anche $ \,\mathcal{B}_0 \:$e$ \: \mathcal{A}_0 \, $ hanno la stesso rango.
Chiameremo rango ridotto di $ \mathcal{Q} $ il rango della matrice $ \,\mathcal{A}_0 $; anche il rango ridotto è una proprietà affine. Nel caso reale sono proprietà affini anche il segno dei determinanti delle due matrici $ \,\mathcal{A}\;$e$ \;\mathcal{A}_0 $. Altre proprietà affini, molto importanti, si hanno quando il nuovo riferimento è ortonormale cioè quando $ \,\mathcal{M}\in O_3(\mathbb {R}) $; in questo caso $ \,\mathcal{A}\;$e$ \;\mathcal{B} \;$ hanno lo stesso determinante, $ \,\mathcal{A}_0 \;$e$ \;\mathcal{B}_0 \;$ sono matrici simili e hanno gli stessi autovalori, quindi la stessa segnatura.

Definizione 2   Diremo $ \, \mathcal{Q} \,$ non degenere o viceversa degenere a seconda che sia $ r(\mathcal{Q}) = 4 \:$ oppure $ \: r(\mathcal{Q}) \leq 3 $.         ESEMPIO