ClockDefinizione

ClockEquivalenza affine

ClockProprietÓ affini

ClockQuadriche a centro

Teoria delle quadriche


Equivalenza affine

Definizione   Sia $ \,\mathcal{Q}\,$ una quadrica di $ \,A^3(K)\,$ (di $ E^3$). Una quadrica $ \,\mathcal{D}\,$ si dice affinemente equivalente (congruente) a $ \,\mathcal{Q}\,$ se esiste un'affinità (un'isometria) $ T$ tale che $ \,\mathcal{Q} =
T(\mathcal{D})$.     ESEMPIO

L'affinità $ T$ porta i punti di $ \,\mathcal{D}\,$ nei punti di $ \,\mathcal{Q}$.
Consideriamo una matrice $ \,\mathcal{M} = (m_{ij}) \in GL_3(K),\,
c_1,\, c_2,\, c_3 \in K$; per denotare l'operazione di passaggio (rispetto al riferimento standard) tra due superfici affinemente equivalenti è conveniente considerare il cambiamento di variabili:

$\displaystyle \left\{
 \begin{array}{c}
 x = m_{11}x'+m_{12}y'+m_{13}z'+c_1\\  ...
...+m_{23}z'+c_2\\  
 z = m_{31}x'+m_{32}y'+m_{33}z'+c_3\\  
 \end{array}
 \right.$ (1.3)     

corrispondente all'affinità $ T$ considerata, in cui $ x\prime,y\prime e\, z\prime$ sono nuove indeterminate, ed effettuare la sostituzione precedente nell'equazione generale    (1.1).
Ogni quadrica affinemente equivalente a $ \,\mathcal{Q}\,$ si ottiene in questo modo per qualche $ \: \mathcal{M},\:c_1,c_2,c_3$. Per rappresentare in modo conveniente l'equazione di $ \,\mathcal{D}\,$ esprimiamo le (1.3) nella forma matriciale

\begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{c}
x\\  y\\  z\\
\end{array}
\ri...
...\begin{array}{c}
c_1\\  c_2\\  c_3\\
\end{array}
\right)
\end{displaymath}

o equivalentemente

$\displaystyle \left(
 \begin{array}{c}
 1\\  x\\  y\\  z\\  
 \end{array}
 \rig...
...cal{M}} \left(
 \begin{array}{c}
 1\\  x'\\  y'\\  z'\\  
 \end{array}
 \right)$ (1.4)  

dove

$\displaystyle \widetilde{\mathcal{M}} = \left(
 \begin{array}{cccc}
 1 & 0 & 0 ...
...& m_{22} & m_{23}\\  
 c_3 & m_{31} & m_{32} & m_{33}\\  
 \end{array}
 \right)$ (1.5)  

Eseguendo la sostituzione (1.4) in (1.2) otteniamo l'equazione della quadrica $ \,\mathcal{D}\,$ espressa da

$\displaystyle \left(
 \begin{array}{cccc}
 1 & x' & y' & z'\\  
 \end{array}
 \...
... \left(
 \begin{array}{c}
 1 \\  x' \\  y' \\  z'\\  
 \end{array}
 \right) = 0$ (1.6)  

dove

$\displaystyle \mathcal{B}\: = \hspace{2mm}
 ^t\widetilde{\mathcal{M}} \hspace{1mm} \mathcal{A} \hspace{1mm}
 \widetilde{\mathcal{M}}.$ (1.7)  

è la nuova matrice della quadrica. Indichiamo con $ \, \mathcal{B}_0 \,$ la sottomatrice di $ \,
\mathcal{B} \,$ che rappresenta la forma quadratica di $ \,\mathcal{D}\,$, dalla precedente, si ricava

$\displaystyle \mathcal{B}_0 = \hspace{2mm} ^t\mathcal{M}
 \hspace{1mm} \mathcal{A}_0 \hspace{1mm} \mathcal{M}$ (1.8)  

Osservazione   Queste ultime considerazioni sono valide anche nel caso euclideo. In $ \, E^3$ un'isometria $ \:T \:$ modifica la quadrica $ \,
\mathcal{Q} \,$ mediante la sostituzione (1.3) in cui $ \mathcal{M}$ è una matrice ortogonale.