Definizione Equivalenza affine Proprietà affini Quadriche a centro

Teoria delle quadriche

Equivalenza affine Definizione   Sia $\,\mathcal{Q}\,$ una quadrica di $\,A^3(K)\,$ (di $E^3$). Una quadrica $\,\mathcal{D}\,$ si dice affinemente equivalente (congruente) a $\,\mathcal{Q}\,$ se esiste un'affinità (un'isometria) $T$ tale che $\,\mathcal{Q} = T(\mathcal{D})$.     ESEMPIO L'affinità $T$ porta i punti di $\,\mathcal{D}\,$ nei punti di $\,\mathcal{Q}$. Consideriamo una matrice $\,\mathcal{M} = (m_{ij}) \in GL_3(K),\, c_1,\, c_2,\, c_3 \in K$; per denotare l'operazione di passaggio (rispetto al riferimento standard) tra due superfici affinemente equivalenti è conveniente considerare il cambiamento di variabili: $$\left\{ \begin{array}{c} x = m_{11}x'+m_{12}y'+m_{13}z'+c_1\\ ... ...+m_{23}z'+c_2\\ z = m_{31}x'+m_{32}y'+m_{33}z'+c_3\\ \end{array} \right.$$ (1.3)      corrispondente all'affinità $T$ considerata, in cui $x\prime,y\prime e\, z\prime$ sono nuove indeterminate, ed effettuare la sostituzione precedente nell'equazione generale    (1.1). Ogni quadrica affinemente equivalente a $\,\mathcal{Q}\,$ si ottiene in questo modo per qualche $\: \mathcal{M},\:c_1,c_2,c_3$. Per rappresentare in modo conveniente l'equazione di $\,\mathcal{D}\,$ esprimiamo le (1.3) nella forma matriciale $$\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \ri... ...\begin{array}{c} c_1\\ c_2\\ c_3\\ \end{array} \right)$$ o equivalentemente $$\left( \begin{array}{c} 1\\ x\\ y\\ z\\ \end{array} \rig... ...cal{M}} \left( \begin{array}{c} 1\\ x'\\ y'\\ z'\\ \end{array} \right)$$ (1.4)   dove $$\widetilde{\mathcal{M}} = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 ... ...& m_{22} & m_{23}\\ c_3 & m_{31} & m_{32} & m_{33}\\ \end{array} \right)$$ (1.5)   Eseguendo la sostituzione (1.4) in (1.2) otteniamo l'equazione della quadrica $\,\mathcal{D}\,$ espressa da $$\left( \begin{array}{cccc} 1 & x' & y' & z'\\ \end{array} \... ... \left( \begin{array}{c} 1 \\ x' \\ y' \\ z'\\ \end{array} \right) = 0$$ (1.6)   dove $$\mathcal{B}\: = \hspace{2mm} ^t\widetilde{\mathcal{M}} \hspace{1mm} \mathcal{A} \hspace{1mm} \widetilde{\mathcal{M}}.$$ (1.7)   è la nuova matrice della quadrica. Indichiamo con $\, \mathcal{B}_0 \,$ la sottomatrice di $\, \mathcal{B} \,$ che rappresenta la forma quadratica di $\,\mathcal{D}\,$, dalla precedente, si ricava $$\mathcal{B}_0 = \hspace{2mm} ^t\mathcal{M} \hspace{1mm} \mathcal{A}_0 \hspace{1mm} \mathcal{M}$$ (1.8)   Osservazione   Queste ultime considerazioni sono valide anche nel caso euclideo. In $\, E^3$ un'isometria $\:T \:$ modifica la quadrica $\, \mathcal{Q} \,$ mediante la sostituzione (1.3) in cui $\mathcal{M}$ è una matrice ortogonale.