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ClockEquivalenza affine

ClockProprietÓ affini

ClockQuadriche a centro
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Teoria delle quadriche


Quadriche a centro

Considerando, ancora, il cambiamento del riferimento affine possiamo definire un'ulteriore caratteristica:

Definizione   Una quadrica $ \,\mathcal{Q} \,$ si dice a centro se esiste un riferimento affine $ \,c,v_1,v_2,v_3 \,$ rispetto al quale $ \,\mathcal{Q} \,$ non ha termini lineari. Ciò equivale a dire, se indichiamo con $ \,\mathcal{B} = b_{ij}\,$ la matrice della quadrica nelle nuove coordinate, che $ \,b_{i0} = 0 \,$ per ciascun $ \,i = 1,2,3$. L'origine $ \,c\,$ di un tale sistema di riferimento si chiama centro della quadrica. Avremo, indicando con $ \,g\,$ l'equazione della quadrica nelle nuove coordinate:

$\displaystyle g(x,y,z)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b_{11}(x)^2+b_{22}(y)^2+b_{33}(z)^2+2b_{12}xy+2b_{13}xz+b_{23}yz+b_{00}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle b_{11}(-x)^2+b_{22}(-y)^2+b_{33}(-z)^2+2b_{12}(-x)(-y)+ \cdots +b_{00}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle g(-x,-y,-z).$  

Questo significa che il punto $ \,c\,$ è un centro di simmetria per la quadrica $ \,\mathcal{Q} \,$.



Consideriamo la matrice $ \mathcal{B}\: =
\hspace{2mm} ^t\widetilde{\mathcal{M}} \hspace{1mm} \mathcal{A}
\hspace{1mm} \widetilde{\mathcal{M}}\:$ e denotiamo:

\begin{displaymath}
\begin{array}{lcl}
\mathcal{A} = \left(
\begin{array}{cc}...
...e &
\;\lambda = \,^t(a_{10},a_{20},a_{30});\\
\end{array}
\end{displaymath}


matrice della quadrica $ \,\mathcal{Q}$.

\begin{displaymath}
\widetilde{\mathcal{M}} = \left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 ...
...m} c = \;^t(c_1,\,c_2,\,c_3),
\quad \mathcal{M} \in GL_3(K).
\end{displaymath}



La matrice $ \,\mathcal{B} \,$ assumerà la forma:

\begin{displaymath}\left(
\begin{array}{cc}
b_{00} & ^t\lambda' \\
\lambda'...
...{5mm}\lambda' =
\:^t\mathcal{M}(\mathcal{A}_0\, c + \lambda)
\end{displaymath}



La condizione $ \,b_{i0} = 0 \,$ per $ \,i = 1,2,3
\,$ è equivalente a dire che:

$\displaystyle ^t\mathcal{M}(\mathcal{A}_0\, c + \lambda) = \lambda' = 0
$

e siccome $ \:\mathcal{M}$, e quindi anche $ \:^t\mathcal{M}$, è invertibile la precedente equivale a:

$\displaystyle \mathcal{A}_0\, c +
\lambda = 0.$

Tale sistema ha un'unica soluzione $ \:c \in
A^3(K)\: $, che sarà il centro della quadrica, quando $ \:\mathcal{A}_0 \,$ è invertibile. Abbiamo allora i seguenti risultati:   PROPOSIZIONI   1, 2, 3.