Definizione Equivalenza affine Proprietà affini Quadriche a centro     Proposizioni

Teoria delle quadriche

Proposizione 1.   Diremo che la quadrica $\,\mathcal{Q} \,$ è a centro quando $\,det(\mathcal{A}_0) \neq 0$; (osservazione) equivalentemente quando il rango di $\,\mathcal{A}_0 = 3$. Se il rango di $\,\mathcal{A}_0 < 3 \,$ allora il sistema $\:\mathcal{A}_0\, c + \lambda = 0\:$ non ha soluzioni oppure ne ha infinite, e quindi la quadrica non ha centro oppure ne ha infiniti. Proposizione 2.   Data una quadrica a centro $\,\mathcal{Q} \,$ le coordinate del centro sono la soluzione del sistema lineare: $$\left \{ \begin{array}{c} a_{11}X+a_{12}Y+a_{13}Z+a_{14} ... ... a_{31}X+a_{32}Y+a_{33}Z+a_{34} = 0\\ \end{array} \right.$$ Esiste una relazione importante tra il rango di $\,\mathcal{A} \,$ e quello di $\,\mathcal{A}_0 \,$ che permette di distinguere le quadriche a centro da quelle non a centro: Proposizione 3.   Sia $\,\mathcal{A} \,$ la matrice della quadrica $\,\mathcal{Q}$; allora se $\,\mathcal{Q} \,$ è a centro si ha $\;r(\mathcal{A}) = r(\mathcal{A}_0) \;$   oppure$\;r(\mathcal{A}) = r(\mathcal{A}_0)+1$, altrimenti $\;r(\mathcal{A}) = r(\mathcal{A}_0)+2$.