ClockDefinizione

ClockEquivalenza affine

ClockProprietÓ affini
    ClockOsservazione

ClockQuadriche a centro

Teoria delle quadriche


Osservazione


Per ogni $ \, \widetilde{\mathcal{M}} \in GL_4(K)$, la (1.6) può essere vista come l'equazione di $ \, \mathcal{Q} \,$ rispetto ad un diverso sistema di coordinate.
Infatti se prendiamo $ \:c,v_1,v_2,v_3 \in K^3$ riferimento affine in $ K^3$ con $ \\ c = \hspace{2mm} ^t(c_1, c_2,c_3) \: $ e indichiamo con $ \:x', y', z' \: $ le coordinate di $ \: x, y, z
\: $ nel nuovo riferimento, allora utilizzando la matrice $ \:
M_{e,(v_1,v_2,v_3)}(id_{K^3}) \:$ del cambiamento di coordinate lineari dalla base canonica alla nuova base $ \,v_1,v_2,v_3
\,$ (è la matrice le cui colonne sono esattamente $ \:
v_1,v_2,v_3 $) , ed effettuando la sostituzione

\begin{displaymath}
\left(
\begin{array}{c}
x\\  y\\  z\\
\end{array}
\ri...
...\begin{array}{c}
c_1\\  c_2\\  c_3\\
\end{array}
\right)
\end{displaymath}

otteniamo la quadrica $ \, \mathcal{Q} \,$ scritta nelle nuove coordinate. È ciò che abbiamo fatto utilizzando la matrice $ \:\mathcal{M} \in GL_3(K) $.


La precedente osservazione ci fa capire che data l'equazione $ \: f(x,y,z) = 0 \:$ della quadrica $ \, \mathcal{Q} \,$ possiamo cercare un nuovo riferimento affine in cui tale superficie è rappresentata da un'equazione più semplice.