Definizione Equivalenza affine Proprietà affini     Osservazione Quadriche a centro

Teoria delle quadriche

Osservazione Per ogni $\, \widetilde{\mathcal{M}} \in GL_4(K)$, la (1.6) può essere vista come l'equazione di $\, \mathcal{Q} \,$ rispetto ad un diverso sistema di coordinate. Infatti se prendiamo $\:c,v_1,v_2,v_3 \in K^3$ riferimento affine in $K^3$ con $\\ c = \hspace{2mm} ^t(c_1, c_2,c_3) \:$ e indichiamo con $\:x', y', z' \:$ le coordinate di $\: x, y, z \:$ nel nuovo riferimento, allora utilizzando la matrice $\: M_{e,(v_1,v_2,v_3)}(id_{K^3}) \:$ del cambiamento di coordinate lineari dalla base canonica alla nuova base $\,v_1,v_2,v_3 \,$ (è la matrice le cui colonne sono esattamente $\: v_1,v_2,v_3$) , ed effettuando la sostituzione $$\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z\\ \end{array} \ri... ...\begin{array}{c} c_1\\ c_2\\ c_3\\ \end{array} \right)$$ otteniamo la quadrica $\, \mathcal{Q} \,$ scritta nelle nuove coordinate. È ciò che abbiamo fatto utilizzando la matrice $\:\mathcal{M} \in GL_3(K)$. La precedente osservazione ci fa capire che data l'equazione $\: f(x,y,z) = 0 \:$ della quadrica $\, \mathcal{Q} \,$ possiamo cercare un nuovo riferimento affine in cui tale superficie è rappresentata da un'equazione più semplice.