Teorema 2   Sia $G$ un gruppo, e sia $\mathcal{R}$ una relazione di equivalenza compatibile con il prodotto di $G$.
L'insieme $H := [1]$ è un sottogruppo normale di $G$, e la relazione $\mathcal{R}$ coincide con la congruenza modulo $H$.

Dimostrazione
Si ha $H = [1] = \{a \in G \mid a\mathcal{R} 1\}$.
$H$ è un sottogruppo di $G$ infatti $1\in H$, e inoltre:

$H$ è normale in $G$:
$\forall h\in H \;,\;\forall g\in G$ si ha

\begin{displaymath}[ghg^{-1}]= [g]\cdot [a]\cdot [g^{-1}] = [g] \cdot [1] \cdot [g^{-1}] = [g1g^{-1}] = [1],\end{displaymath}

cioè $ghg^{-1} \in H$.
$\mathcal{R}$ coincide con la congruenza modulo $H$:
$\forall a,b\in G$ si ha

\begin{displaymath}a\equiv b \quad (mod H) \Leftrightarrow ab^{-1}\in H \Leftrightarrow [a b^{-1}] = [1] \Leftrightarrow\end{displaymath}


\begin{displaymath}[a]\cdot [b]^{-1}= [1] \Leftrightarrow [a] = [b] \Leftrightarrow a\mathcal{R} b.\end{displaymath}

Proposizione 3   Sia $G$ un gruppo e sia $H$ un suo sottogruppo normale. Allora la congruenza modulo $H$ è compatibile con il prodotto di $G$.

Dimostrazione
Se $a\equiv a'\quad (modH)$ e $b\equiv b'\quad (modH)$, cioè se $a^{\prime -1} a \in H$ e $bb^{\prime -1}\in H$, si ha $a^{\prime -1} a b b^{\prime -1}= a^{\prime -1}(ab b^{\prime -1}) \in H$; da questo, per osservazione 5 della sezione "Sottogruppi normali", segue che $a b b^{\prime -1} a^{\prime -1}= a b(a' b')^{-1}\in H$, cioè $a b\equiv a'b'\quad (modH)$.

Osservazione 4   Sia $G$ un gruppo; abbiamo appena visto che una relazione di equivalenza $\mathcal{R}$ su $G$ compatibile con il prodotto è una congruenza modulo il sottogruppo normale $H=[1]$, e viceversa; il gruppo $G/\mathcal{R}$ viene solitamente indicato con $G/H$.
Dalla proposizione 8 della sezione "Laterali di un sottogruppo", dalla proposizione 3 della sezione "Sottogruppi normali", e dal teorema 2, segue che gli elementi di $G/H$ sono i laterali di $H$ in $G$, che verranno nel seguito denotati sia con $Hx$ o $xH$ che con $[x]$.

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