Esempio 5   Consideriamo il gruppo degli interi $(\mathbb{Z} , +)$.
I sottogruppi di $\mathbb{Z} $ sono tutti della forma $< m >$, con $m\in \mathbb{Z} $, e sono tutti normali essendo $\mathbb{Z} $ abeliano. Anziché scrivere $a\equiv b\quad (mod<m>)$, si scrive $a\equiv b\quad (mod\;m)$.
Se $m>0$, il gruppo quoziente $\mathbb{Z} /< m >$ è abeliano, essendo $\mathbb{Z} $ abeliano, ha ordine $m$ e i suoi elementi sono $[0],\ldots,[m-1]$.

Infatti dato un intero $a$, se si divide $a$ per $m$, si ottiene:

\begin{displaymath}a= m q + r \; ,\;\mbox{con}\; 0\leq r <m.\end{displaymath}

Questo equivale a dire $a-r=m q $, cioè $a-r\in< m >$, e quindi

\begin{displaymath}a\equiv r\quad (mod\;m), \mbox{ con } 0\leq r <m.\end{displaymath}

Allora $a\in [r]$.
Inoltre gli elementi $[0],\ldots,[m-1]$ sono distinti in quanto se $[a]=[b] $, con $0\leq a < b <m$, si ha $b-a=mk$ e $0<b-a <m$, quindi $k>0$ e $mk <m$ che è assurdo.
Il gruppo $\mathbb{Z} /< m >$ viene indicato con $\mathbb{Z} _{m}$ e si chiama il gruppo degli interi modulo m.

Proposizione 6   Sia $G$ un gruppo finito e sia $H$ un suo sottogruppo normale. Allora

\begin{displaymath}\left\vert G/H\right \vert= \left\vert G\right\vert/\left\vert H\right\vert.\end{displaymath}

Dimostrazione
Dal teorema di Lagrange segue $\left\vert G\right\vert=[G:H]\cdot \left\vert H\right\vert$. Ma $[G:H]=\left\vert G/H\right\vert$, quindi $\left\vert G/H\right\vert=\left\vert G\right\vert/\left\vert H\right\vert$.


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