Dimostrazione
Essendo
finito, anche
e
lo sono.
I laterali destri di
in
ripartiscono
in sottoinsiemi
disgiunti, ognuno con un numero di elementi pari al numero di
elementi di .
Poiché il numero di tali sottoinsiemi
è
,
si ha:
.
Dimostrazione
Segue dalla proposizione 7 della sezione "Gruppi e sottogruppi ciclici", e dal teorema di Lagrange.
Dimostrazione
Sia
e sia .
Da corollario 16 segue
,
cioè ,
con
.
Allora
.
Dimostrazione
Proviamo che
ha solo sottogruppi banali.
Sia
un sottogruppo
di ;
allora
divide
cioè
o
,
essendo
un primo.
Se
,
.
Se
,
.
Sia ora
un elemento di ,
diverso da ;
consideriamo il
sottogruppo di
generato da .
Poiché
e ,
.
Allora per quanto appena provato, .
Dimostrazione
Applichiamo il teorema di Lagrange a:
e :
;
e :
;
e :
.
Combinando le prime due relazioni ottenute, si ha: