Definizione 14   Sia $G$ un gruppo e sia $H$ un suo sottogruppo.
Si chiama indice di $H$ in $G$, e viene denotato con $[G:H]$, la cardinalità dell'insieme dei laterali destri (o sinistri) di $H$ in $G$.

Teorema 15 (di Lagrange)   Sia $G$ un gruppo finito, e sia $H$ un sottogruppo di $G$.
L'ordine di $H$ divide l'ordine di $G$, e precisamente si ha:

\begin{displaymath}\vert G\vert = \vert H \vert\cdot [G:H].\end{displaymath}


Dimostrazione
Essendo $\vert G\vert$ finito, anche $\vert H\vert$ e $[G:H]$ lo sono.
I laterali destri di $H$ in $G$ ripartiscono $G$ in sottoinsiemi disgiunti, ognuno con un numero di elementi pari al numero di elementi di $H$.
Poiché il numero di tali sottoinsiemi è $[G:H]$, si ha: $\vert G \vert = \vert H\vert \cdot [G:H]$.

Corollario 16   Sia $G$ un gruppo finito, e sia $a$ un elemento di $G$.
Allora $\vert a \vert $ divide $\vert G\vert$.

Dimostrazione
Segue dalla proposizione 7 della sezione "Gruppi e sottogruppi ciclici", e dal teorema di Lagrange.

Corollario 17   Sia $G$ un gruppo finito di ordine $n$.
Allora $a^{n} = 1$.

Dimostrazione
Sia $a \in G$ e sia $ \vert a\vert= k$. Da corollario 16 segue $k\mid n$, cioè $n = kq $, con $q\in \mathbb{Z} $. Allora $a^{n} = a^{k\cdot q} = (a^{k})^{q} = 1$.

Corollario 18   Sia $G$ un gruppo finito di ordine $p$, con $p$ primo.
Allora $G$ è ciclico.

Dimostrazione
Proviamo che $G$ ha solo sottogruppi banali.
Sia $H$ un sottogruppo di $G$; allora $\left\vert H \right\vert$ divide $\left\vert G \right\vert$ cioè $\left\vert H \right\vert = 1 $ o $\left\vert H \right\vert = p$, essendo $p$ un primo.
Se $\left\vert H \right\vert = 1 $, $H = \{1\}$.
Se $\left\vert H \right\vert = p$, $H = G$.
Sia ora $a$ un elemento di $G$, diverso da $1$; consideriamo il sottogruppo di $G$ generato da $a$. Poiché $a \in < a >$ e $a \ne 1$, $< a > \ne \{1\}$. Allora per quanto appena provato, $< a > = G$.

Corollario 19   Sia $G$ un gruppo finito e siano $H$ e $K$ sottogruppi di $G$ tali che $K \subseteq H$.
Allora $[G:K] = [G:H] \cdot [H:K] $.

Dimostrazione
Applichiamo il teorema di Lagrange a:
$G$ e $K$:          $\left\vert G \right\vert = [G:K] \cdot \left\vert K \right\vert $;
$G$ e $H$:          $\left\vert G \right\vert = [G:H] \cdot \left\vert H \right\vert $;
$H$ e $K$:          $\left\vert H \right\vert = [H:K] \cdot \left\vert K \right\vert $.
Combinando le prime due relazioni ottenute, si ha:

\begin{displaymath}[G:K]\cdot \left\vert K \right\vert = [G:H] \cdot \left\vert H \right\vert.\end{displaymath}

Utilizzando ora la terza relazione, si ottiene:

\begin{displaymath}[G:K]\cdot \left\vert K \right\vert = [G:H] \cdot [H:K] \cdot \left\vert K \right\vert.\end{displaymath}

Applicando infine la legge di cancellazione, si arriva alla tesi:

\begin{displaymath}[G:K]= [G:H] \cdot [H:K]. \end{displaymath}

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