Osservazione 12   I risultati ottenuti per i laterali destri, si possono trovare in modo del tutto analogo anche per i laterali sinistri, sostituendo la relazione $\equiv_{H}$, con la relazione su $G$ definita da:

\begin{displaymath}\forall a,b \in G \;,\; a\,{}_{H}\equiv b \mbox{ se e solo se } a^{-1}b \in H.\end{displaymath}

Precisamente, ${}_{H}\equiv$ è una relazione di equivalenza su $G$, le cui classi di equivalenza sono i laterali sinistri di $H$: $\forall a \in G$, $aH=\{x\in G\vert \;a\, {}_{H}\equiv x\}$. Inoltre $\forall a \in G$, la cardinalità di $aH$ è uguale alla cardinalità di $H$; dunque, $\forall a,b \in G$, la cardinalità di $aH$ è uguale alla cardinalità di $Hb$.

Proposizione 13   Sia $G$ un gruppo e sia $H$ un suo sottogruppo. Esiste una corrispondenza biunivoca tra l'insieme dei laterali destri di $H$ in $G$ e l'insieme dei laterali sinistri di $H$ in $G$.

Dimostrazione
Sia $\mathcal{D} $ l'insieme dei laterali destri di $H$ in $G$, e sia $\mathcal{S} $ l'insieme dei laterali sinistri di $H$ in $G$.
Consideriamo l'applicazione

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc} f: & \mathcal{D} & \longrightarrow & \mathcal{S}\\ & Hx & \longmapsto & x^{-1}H.\end{array}\end{displaymath}

Innanzitutto proviamo che $f$ è ben definita, cioè $f$ non dipende dalla scelta del rappresentante del laterale destro; sia $Hx = Hy $, allora $x\equiv_{H} \, y$, cioè $ x y^{-1} \in H$. Allora $(xy^{-1})^{-1} = (y^{-1} )^{-1} x^{-1} \in H$. Questo equivale a $x^{-1}\, {}_{H}\equiv y^{-1}$ cioè $x^{-1}H = y^{-1}H$ e quindi $f(Hx) = f(Hy)$.
Inoltre $f$ è suriettiva ed è iniettiva in quanto se $f(Hx) = f(Hy)$, allora $x^{-1}H = y^{-1}H$ da cui segue che $x^{-1}\, {}_{H}\equiv y^{-1}$, cioè $ x y^{-1} \in H$, che implica $x\equiv_{H} \, y$, cioè $Hx = Hy $.


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