Definizione 4   Sia $G$ un gruppo. L'ordine di $G$ è la cardinalità di $G$ e si indica con $\left\vert G \right\vert $.
 

Definizione 5   Sia $G$ un gruppo e sia $a\in G$.
Se $a^{k}\ne 1$, $\forall k\in \mathbb{Z}\setminus\{0\}$, si dice che $a$ ha periodo o ordine infinito; se invece $\exists k \in \mathbb{Z}\setminus\{0\}$ tale che $a^{k} = 1$ si dice che $a$ ha periodo o ordine $m$, dove $m$ è il più piccolo intero positivo tale che $a^{m} = 1$.
L'ordine di $a$ viene denotato con $\left\vert a \right\vert$.

Gruppo ciclico infinito generato dall'elemento a.
 
Gruppo ciclico di ordine 6 generato dall'elemento a.

Proposizione 6   Sia $G$ un gruppo e sia $a\in G$.
Se $a$ ha ordine finito $m$, allora un intero $k$ è tale che $a^{k} = 1$ se e solo se $m\mid k$.

Dimostrazione
Sia $a^{k} = 1$.
Dividiamo $k$ per $m$:

\begin{displaymath}k = m q + r \qquad \mbox{con} \quad q,r \in \mathbb{Z}\; e \;0 \leq r < m.\end{displaymath}

Allora

\begin{displaymath}a^{k}=a^{mq + r}= (a^{m})^{q}a^{r}= a^{r}= 1\end{displaymath}

quindi $r = 0$ essendo $m$ l'ordine di $a$, e $k = mq$ cioè $m\mid k$.
Sia ora $k\in\mathbb{Z} $ tale che $m\mid k$, cioè $k = mq$.
Si ha allora:

\begin{displaymath}a^{k}= a^{mq}= (a^{m})^{q}= 1.\end{displaymath}

Proposizione 7   Sia $G$ un gruppo e sia $a\in G$.
Se l'ordine di $a$ è finito uguale a $m$, si ha:

\begin{displaymath}< a > = \{1 , a ,\ldots,a^{m-1}\}\end{displaymath}

e quindi $\left\vert < a >\right\vert = \left\vert a\right\vert$.
Se $a$ ha ordine infinito, l'applicazione

\begin{displaymath}\begin{array}{ccc} \mathbb{Z} &\longrightarrow & < a >\\ k &\longmapsto & a^{k}\end{array} \end{displaymath}

è una biezione, e in particolare $\left\vert < a >\right\vert $ è infinito.

Dimostrazione
Sia $\left\vert a \right\vert = m$ finito.
Proviamo innanzitutto che gli elementi $1 , a , \ldots, a^{m-1}$ sono distinti. Siano $k , l\in \mathbb{Z} $ tali che $0\leq l \leq k \leq m-1$. Se $a^{k} = a^{l}$, allora $a^{k-l} = 1$ e $0\leq k-l\leq m-1$. Ma $m$ è il più piccolo intero positivo tale che $a^{m} = 1$, quindi $k - l = 0$ cioè $k = l$.
Mostriamo ora che $< a > = \{1,\ldots,a^{m-1}\}$.
Ovviamente $\{1,\ldots,a^{m-1}\}\subseteq < a >$. Sia $a^{k}\in < a >$; dividiamo $k$ per $m$:

\begin{displaymath}k = m q + r \qquad \mbox{con} \quad q,r \in \mathbb{Z}\; e \;0 \leq r < m.\end{displaymath}

Si ha :

\begin{displaymath}a^{k} = a^{mq + r} = (a^{m})^{q} a^{r}= a^{r},\end{displaymath}

cioè $a^{k}\in \{1,\ldots,a^{m-1}\}$ e dunque $< a > = \{1,\ldots,a^{m-1}\}$.
Supponiamo ora che $a$ abbia ordine infinito.
L'applicazione da $\mathbb{Z} $ in $< a >$ che associa ad ogni intero $k$ l'elemento $a^{k}$ è suriettiva ed è iniettiva in quanto se $h , k\in \mathbb{Z} $ sono tali che $a^{k} = a^{h}$, si ha $a^{h-k} = 1$, cioè $h - k = 0$ essendo $\left\vert a \right\vert$ infinito, e quindi $h = k$.


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