Esempi 3  
1)
$(\mathbb{Z} , +)$ è ciclico, generato da $1$ o $-1$.
I suoi sottogruppi sono ciclici e sono quindi tutti, tranne $<0>$, della forma $< m >$ con $m\in \mathbb{Z} ^{+}$.
2)
$(\mathbb{Q} , +)$ non è invece un gruppo ciclico: supponiamo per assurdo che $\mathbb{Q} $ sia ciclico generato da un elemento $a = m/n$ con $m , n\in \mathbb{Z} $ e $n\ne 0$.
Sia $r$ un intero tale che $r\nmid n$; esiste $k\in \mathbb{Z} $ tale che

\begin{displaymath}1/r = km/n,\end{displaymath}

quindi

\begin{displaymath}n/r = mk \in \mathbb{Z}\end{displaymath}

cioè $r\mid n$ che è assurdo.
3)
I sottogruppi di $S_{3}$:

\begin{displaymath}\left\{\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 1&2&3\end{array}\rig... ...ft(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 2&1&3\end{array}\right)\right\},\end{displaymath}


\begin{displaymath}\left\{\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 1&2&3\end{array}\rig... ...ft(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 3&1&2\end{array}\right)\right\},\end{displaymath}

sono ciclici, generati rispettivamente da $\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 2&1&3\end{array}\right)$ e $\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 3&1&2\end{array}\right)$ (o anche da $\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 2&3&1\end{array}\right)$).

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