Definizione 1   Sia $G$ un gruppo e sia $a\in G$; poniamo

\begin{displaymath}< a >:= \{a^{k}, k\in \mathbb{Z}\};\end{displaymath}

$< a >$ è un sottogruppo di $G$, detto il sottogruppo ciclico di $G$ generato da $a$.
Diciamo che un gruppo $G$ è ciclico se esiste un elemento $a$ in $G$ tale che $G =<a>$. In questo caso si dice che $a$ genera $G$ o che $a$ è un generatore per $G$.

Proposizione 2   Se $G$ è un gruppo ciclico, si ha :
1)
$G$ è abeliano;
2)
se $H$ è un sottogruppo di $G$, allora $H$ è ciclico, e se $H \ne < 1 >$, allora $H=<a^{h}>$ dove $h$ è il più piccolo intero positivo tale che $a^{h}\in H.$

Dimostrazione

1)
Se $G =<a>$ e $g,g'\in G$, si ha $g=a^{k}$ e $g'=a^{h}$ con $h , k \in \mathbb{Z} $.
Allora $gg' = a^{k} a^{h} = a^{h+k} = a^{k+h} = a^{k}a^{h} = g'g$.
2)
Sia $G =<a>$.
Se $H = \{1\}$, allora $H = < 1 > = < a^{0} >$.
Se $H\ne \{1\}$, sia $h$ il più piccolo intero (strettamente) positivo tale che $a^{h}\in H$. Tale intero esiste, infatti essendo $H\ne \{1\}$, esiste un intero non nullo $k$ tale che $a^{k}\in H$; se $k < 0$, $ a^{-k}$ è l'inverso di $a^{k}$ e quindi appartiene ad $H$. Allora l'insieme $\{ k\in \mathbb{Z}\mid k > 0 , a^{k}\in H\}$ è non vuoto e quindi ammette minimo.
Sia allora $a^{m}$ un elemento di $H$. Dividiamo $m$ per $h$:

\begin{displaymath}m = h q + r\qquad \mbox{con}\quad q,r\in \mathbb{Z}\mbox{ e } 0\leq r < h\end{displaymath}

Consideriamo:

\begin{displaymath}a^{r} = a^{m-h q} = a^{m}(a^{h})^{-q}\in H\end{displaymath}

poiché $a^{m}$ e $(a^{h})^{-q}$ appartengono entrambi ad $H$.
Allora $r = 0$ per la minimalità di $h$, e quindi $m = hq $.
Si ha dunque:

\begin{displaymath}a^{m} = a^{hq} = (a^{h})^{q}\in < a^{h}>,\end{displaymath}

cioè $H \subseteq <a^{h}>$. Poiché ovviamente $<a^{h}>\subseteq H$, possiamo concludere che $H=<a^{h}>$.


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