Notazione 1   Sia $G$ un gruppo, sia $S$ un suo sottoinsieme, e sia $x\in G$. Si pone:

\begin{displaymath}xS:=\{xs\vert\; s\in S\} \mbox{ e } Sx=\{sx\vert \;s\in S\},\end{displaymath}

analogamente a quanto fatto in definizione 1 della sezione "Laterali di un sottogruppo". Quindi

\begin{displaymath}xSx^{-1} := \{ xsx^{-1}\mid s\in S\}.\end{displaymath}

Se $S\subset T$ e $x\in G$, si ha $xS\subset xT$ e $Sx\subset Tx$.

Definizione 2   Sia $G$ un gruppo e sia $H$ un suo sottogruppo.
Si dice che $H$ è normale se

\begin{displaymath}xHx^{-1 }\subseteq H,\; \forall x \in G.\end{displaymath}

Proposizione 3   Sia $G$ un gruppo e sia $H$ un suo sottogruppo. Allora sono equivalenti:
1)
$H$ è normale.
2)
$ xHx^{-1} = H$, $\forall x \in G$.
3)
Ogni laterale destro di $H$ è anche laterale sinistro.
4)
$xH=Hx$, $\forall x \in G$.
5)
Le relazioni ${}_{H}\equiv \;$ e $\; \equiv _{H}$ coincidono.
Se queste condizioni equivalenti sono verificate, la relazione di equivalenza $\equiv _{H}$ verrà detta congruenza modulo $H$, e scriveremo $x\equiv y \quad (mod H)$. Chiameremo ``laterale di $H$'' ogni suo laterale sia destro che sinistro $Hx=xH$.

Dimostrazione

$(1\Leftrightarrow 2)$
Se $H$ è normale, si ha: $xHx^{-1} \subseteq H, \forall x \in G$.
Quindi vale

\begin{displaymath}x^{-1} xHx^{-1}x \subseteq x^{-1}Hx,\end{displaymath}

cioè $H \subseteq x^{-1}Hx, \forall x \in G$. Questo è equivalente a $H \subseteq xHx^{-1}, \forall x \in G$.
La doppia inclusione dà quindi $H = xHx^{-1}, \forall x \in G$ .
Viceversa se $ xHx^{-1} = H$, $\forall x \in G$, $H$ è ovviamente normale.
$(3\Leftrightarrow 4)$
Se un laterale destro di $H$, $Hx$, è uguale ad un laterale sinistro, necessariamente tale laterale è $xH$, cioè $Hx=xH$. Infatti, poiché $x\in Hx$, $x$ deve stare anche nel laterale sinistro cercato. D'altra parte $x\in xH$, ed essendo i laterali sinistri disgiunti, il laterale sinistro cercato è necessariamente $xH$.
$(2 \Leftrightarrow 4)$
Si ha: $ xHx^{-1} = H$, $\forall x \in G$ se e solo se $xHx^{-1}x= Hx$, $\forall x \in G$, cioè se e solo se $xH=Hx$, $\forall x \in G$.
$(4\Leftrightarrow 5)$
Le relazioni ${}_{H}\equiv $ e $\equiv _{H}$ coincidono, se e solo se le rispettive classi di equivalenza di ogni $x\in G$ coincidono, cioè $Hx = xH,\; \forall x \in G$.

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