Notazione 1
Sia
un gruppo, sia
un suo sottoinsieme, e sia
.
Si pone:
analogamente
a quanto fatto in
definizione 1 della sezione "Laterali di un sottogruppo". Quindi
Se
e
,
si ha
e
.
Proposizione 3
Sia
un gruppo e sia
un suo sottogruppo. Allora sono equivalenti:
- 1)
-
è normale.
- 2)
-
,
.
- 3)
- Ogni laterale destro di
è anche laterale
sinistro.
- 4)
- ,
.
- 5)
- Le relazioni
e
coincidono.
Se queste condizioni equivalenti sono verificate, la relazione di
equivalenza
verrà detta congruenza modulo
,
e
scriveremo
.
Chiameremo ``
laterale di
'' ogni suo laterale sia destro che sinistro
.
Dimostrazione
-
- Se
è normale, si ha:
.
Quindi vale
cioè
.
Questo è
equivalente a
.
La
doppia inclusione dà quindi
.
Viceversa se
,
,
è
ovviamente normale.
-
- Se un
laterale destro di ,
,
è uguale ad un laterale
sinistro, necessariamente tale laterale è ,
cioè .
Infatti, poiché ,
deve stare anche nel
laterale sinistro cercato. D'altra parte ,
ed essendo i
laterali sinistri disgiunti, il laterale sinistro cercato è
necessariamente .
-
- Si ha:
,
se e solo se
,
,
cioè se e solo
se ,
.
-
- Le relazioni
e
coincidono, se e
solo se le rispettive classi di equivalenza di ogni
coincidono,
cioè
.