Proposizione 4   Sia $G$ un gruppo.
1)
Se $G$ è abeliano ogni sottogruppo $H$ di $G$ è normale.
2)
Se $\{H_{i}\}_{i\in I}$ è una famiglia di sottogruppi normali di $G$, anche il sottogruppo $H = \bigcap_{i\in I}H_{i}$ è normale.
Dimostrazione
1)
Se $G$ è abeliano, $Hx=xH$, $\forall x \in G$, allora per proposizione 3, $H$ è normale.
2)
Poiché $H_{i}$ è normale per tutti gli $i$, $xhx^{-1}\in H_{i}$, $\forall x \in G$ , $\forall h\in H$ e $\forall i\in I$. Allora $xhx^{-1}\in H$, $\forall x \in G$ e $\forall h\in H$, cioè $H$ è normale.

Osservazione 5   Sia $H$ un sottogruppo normale di un gruppo $G$.
Per il punto $4)$ di proposizione 3 , e tenendo conto che $h\in H$ se e solo se $h^{-1}\in H$, si ha:
\begin{displaymath}x\equiv y \quad (mod H) \Leftrightarrow xy^{-1}\in H \Leftri... ... H \Leftrightarrow yx^{-1}\in H \Leftrightarrow y^{-1}x \in H.\end{displaymath}

Inoltre, se $xy\in H$, allora anche $yx\in H$.
Infatti $gxyg^{-1}\in H$, $\forall g \in G$, e se $g=y$, $yxyy^{-1}=yx \in H$.


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