Definizione 6 Sia

un gruppo, e sia

un suo sottoinsieme. Chiamiamo normalizzante di

, l'insieme

$\begin{displaymath}N_{S} := \{x\in G \mid xSx^{-1} = S \}.\end{displaymath}$

Chiamiamo invece, centralizzante di

, l'insieme

$\begin{displaymath}Z_{S} := \{x\in G \mid xsx^{-1} = s, \forall s \in S\} = \{x \in G \mid xs = sx, \forall s \in S\}.\end{displaymath}$

In particolare :

se $S = \{a\}$ , normalizzante e centralizzante di coincidono, e corrispondono all'insieme degli elementi di che commutano con : $\{ x \in G \mid xax^{-1} = a\} = \{ x \in G \mid xa = ax\}$ . Tale insieme viene anche denotato con $\mathcal{C}(a)$ ;
se , il centralizzante di viene chiamato centro di , ed è l'insieme degli elementi di che commutano con tutti gli altri.

Osservazione 7 Si verifica facilmente che sia $N_{S}$ che $Z_{S}$ sono sottogruppi di , e che il centro di è un sottogruppo normale di stesso.
Inoltre se è un sottogruppo di , si ha:

è normale in $N_{H}$ ;
$N_{H}$ è il più grande sottogruppo di in cui è normale;
è normale in se e solo se $G=N_{H}$ .