Gauss

    La rivoluzione non euclidea è una vera e propria rivoluzione di pensiero e segna la data di inizio di un buona parte del pensiero matematico moderno. Come vedremo il primo matematico che segnò una svolta in questo senso fu Karl Friedrich Gauss (1777-1855) che per primo ebbe piena consapevolezza della possibilità di impostare il problema del quinto postulato in un modo totalmente nuovo.

    Dopo il padre gesuita Gerolamo Saccheri (1667-1733), molti altri si cimentarono nella determinazione di regole geometriche valide. Matematici come Johann Heinrich Lambert (1728-1777) hanno cercato di formulare teorie alternative, senza troppi risultati.

    Il merito per la scoperta della nuova geometria va a quei matematici che fino alla fine credettero nell'impossibilità di dedurre il quinto postulato dalla Geometria Assoluta.
Poiché questi studi furono condotti singolarmente senza conoscere gli altri risultati, la Geometria non Euclidea fu scoperta almeno quattro volte.
    Le molteplici e indipendenti scoperte non sono insolite nella storia della Scienza e della Matematica, specialmente quando ci sono degli studiosi che stanno lavorando sullo stesso problema e la comunicazione tra loro è inadeguata.

    Il più completo precursore delle Geometrie non Euclidee fu comunque il grande matematico tedesco Karl Friedrich Gauss, che probabilmente per primo intorno al 1831, giunse alla concezione chiara di una geometria indipendente dal postulato euclideo, ne sviluppò molti dettagli e pervenne alla convinzione della sua non contradditorietà logica. Egli arrivò a questa conclusione dopo venti anni di sporadici tentativi di dimostrare il postulato, durante gli anni successivi condusse delle ricerche sulla nuova geometria e scoprì un certo numero di teoremi.

    In quel periodo, 1818-1819, Gauss ricevette una nota dal professore di giurisprudenza Ferdinando Schweikart, la quale indicava che Schweikart era arrivato, a livello basilare, alle stesse conclusioni.
    Nonostante la scoperta, Gauss non pubblicò mai niente per paura del clamore causato dall'incomprensione della scoperta di quel sistema che egli stesso prima definì "antieuclideo", poi "astrale", e infine "non euclideo".
    Tra il XVIII e il XIX secolo, infatti, dominava il pensiero filosofico di Immanuel Kant (1724-1804), secondo cui l'esame dei giudizi permetteva di giustificare il fondamento delle verità scientifiche necessarie e universali. Oltre ai giudizi analitici (necessari e a priori) e ai giudizi sintetici (non necessari e a posteriori), Kant postulò l'esistenza di giudizi sintetici e a priori, cioè, in quanto sintetici, elaborazioni di qualcosa di già conosciuto implicitamente ed essendo a priori, insiti in ogni conoscenza indipendentemente dai nostri sensi. Kant ritenne che i teoremi e i postulati della Geometria Euclidea fossero affermazioni sintetiche a priori. Quindi elaborare una nuova geometria in cui valeva la negazione del quinto postulato voleva dire negare la verità e l'unicità della Geometria Euclidea che esiste a priori nella nostra mente come strumento per la conoscenza della realtà.
    Negli anni in cui Gauss pervenne a dei risultati, una tale considerazione avrebbe sconvolto gli ambienti scientifici e sarebbe stata ritenuta assurda.

    Ciò che si sa delle ricerche gaussiane sulla Geometria non Euclidea è tratto dalle lettere agli amici , da due brevi recensioni apparse sul "Gottingische gelehrte Anzeigen" del 1816 e del 1822 e da alcune note del 1831 trovate fra le sue carte dopo la morte.
Gauss era pienamente consapevole dell'importanza degli sforzi per stabilire il postulato euclideo delle parallele, perché questo era un fatto comunemente noto a Gottingen, città dove visse e insegnò per tutta la vita. Gauss disse all'amico Schumacher che fin dal 1792 (quando aveva quindici anni), si era fatto l'idea che fosse possibile l'esistenza di una geometria logica in cui non fosse valido il postulato euclideo delle parallele.

    Nel 1831 Gauss ricevette dall'amico e  matematico Wolfgang Farkas Bolyai (1775-1856) una copia di un trattato sulla Geometria non Euclidea che di lì a poco sarebbe stata pubblicata dal figlio Jànos Bolyai(1802-1860) come appendice di un lavoro del padre. Sollevato sul futuro della Geometria non Euclidea, Gauss interruppe i suoi studi a riguardo.