Dopo Saccheri

    La ricerca di una dimostrazione del quinto postulato terminò con il tentativo di Gerolamo Saccheri (1667-1733) (che tralaltro era convinto di averlo provato).
    Il suo operato segnò una svolta nell'ambito dello sviluppo delle Geometrie non Euclidee perché favorì due  nuovi atteggiamenti nei confronti della Geometria Euclidea e in particolare del postulato delle parallele; alcuni cominciarono a considerare le Geometrie ideate per assurdo da Saccheri e approfondirono i risultati involontariamente ottenuti; altri, ragionando sul fallimento dello scopo di Saccheri di dimostrare il quinto postulato, ipotizzarono che il postulato poteva essere indimostrabile.
    Vedremo più avanti che l'unione di queste due posizioni portò ad una consapevole elaborazione delle Geometrie non Euclidee.
 
 

    Circa cinquanta anni dopo Saccheri, Johann Heinrich Lambert (1728-1777), riprese i suoi studi sull'elaborazione dei risultati ottenuti negando il quinto postulato e ottenne anche dei risultati, ma non pubblicò mai niente per paura dell'opinione pubblica. La Geometria Euclidea era allora considerata l'unica possibile, rafforzata dal fatto che persisteva da secoli.
 
 

    Dalla seconda metà del XVIII secolo il problema di dedurre il quinto postulato divenne noto in tutti gli ambienti matematici.

    L'enciclopedista Jean le Rond d'Alembert lo definì  nel 1759  "le scandale des éléments de géométrie", e ci volle poco tempo perché tale difficoltà portasse a concludere che non esisteva alcuna soluzione.

    A quanto pare, il primo a considerare l'impossibilità di una prova fu G.S. Klugel (1739-1812), studente all'Università di Gottingen, che con l'aiuto del professore A.G. Kastner, nella dissertazione del 1763 Conatuum praecipuorum theoriam parallelarum demonstrandi recensio, esaminò 28 tentativi di provare il quinto postulato, compreso quello di Saccheri, e li trovò tutti inesaurienti, concludendo così che il quinto postulato era indimostrabile e che era ritenuto vero solo dal giudizio dei sensi. Klugel non riuscì mai a provare che il quinto postulato non poteva essere dimostrato, tuttavia questa teoria fu presa in considerazione anche da altri matematici, rendendo così inevitabile l'elaborazione delle Geometrie non Euclidee.
 
 

    Anche Luigi Lagrange (1736-1813) intuì la possibilità di ricavare geometrie "diverse" da quella euclidea; solo che egli, vittima del pregiudizio comune, non osò comunicare i suoi risultati, perché avrebbe dovuto sostenere pubblicamente che ci sono più geometrie "vere", il che gli sembrava scandaloso. Bisognava arrivare alla consapevolezza che non esiste una geometria "vera", ma che ogni geometria è "vera" se non contraddittoria, nei procedimenti e nei risultati, con l'ipotesi assunta.
 
 

    Gradatamente si arrivò a pensare alla geometria come un sistema assiomatico non contraddittorio, al di là della realtà che descriveva.
    Nello studio di un qualsiasi sistema assiomatico è implicita l'assunzione che i suoi assiomi siano coerenti, cioè che da questi è impossibile dedurre una contraddizione, altrimenti sarebbe violata ogni legge base della logica e di conseguenza il sistema assiomatico sarebbe inconsistente.
In questo senso l'effettiva possibilità logica di un sistema assiomatico richiede soltanto che gli assiomi siano coerenti.

    La formulazione di una nuova geometria dovuta all'improvabilità del quinto postulato fu il risultato della Geometria Assoluta e della negazione del quinto postulato ed era "valida" perché coerente.