Saccheri

    Tra i matematici che si impegnarono nella dimostrazione del quinto postulato, uno dei più importanti fu il padre gesuita Gerolamo Saccheri (1667-1733) perché non cercò di sostituire il quinto postulato con un asserto simile, ma seguì un procedimento logico diverso dagli altri ipotizzando la sua negazione, sicuro di pervenire ad un assurdo. In realtà, inconsapevolmente, creò a livello elementare due nuove geometrie in seguito definite Geometrie non Euclidee proprio perchè in esse si negava la validità del quinto postulato.

    Professore di Matematica all'Università di Pavia, Saccheri scrisse un trattato, Euclide ab omni naevo vindicatus, in cui tentò di togliere l'unico "neo" degli Elementi, cioè dare una dimostrazione del quinto Postulato.

Saccheri era convinto di due cose:

1. che l'enunciato era vero.
2. che esso poteva essere dedotto dai precedenti e quindi diventare teorema.

    All'inizio considerò la Geometria Assoluta, ottenuta dalla Geometria Euclidea escludendo il quinto Postulato e tutti i teoremi dimostrati con l'ausilio di questo, e adottò la tecnica dimostrativa a contrariis :

a.   supporre vera la negazione del quinto Postulato.
b.   dedurre dal nuovo sistema (geometria assoluta + negazione del quinto postulato), tutta una serie di teoremi.
c.   pervenire ad un assurdo.
 

    Come strumento di tutta la sua analisi, egli costruì il quadrilatero noto come "quadrilatero di Saccheri".
 
 

                                                                                Figura 9.
 
 

    Questa figura è formata da due lati opposti uguali tra loro, da un lato perpendicolare ai suddetti chiamato base e dal lato opposto alla base detto sommità.

    Poiché la figura piana che deriva è un quadrilatero birettangolo isoscele, gli angoli in C e D devono essere per forza uguali, quindi Saccheri considerò le tre possibili ipotesi:

1. gli angoli alla sommità sono retti.
2. gli angoli alla sommità sono ottusi.
3. gli angoli alla sommità sono acuti.

    Il procedimento consisteva poi nel considerare le ipotesi 2 e 3, pervenire ad un assurdo e dimostrare così, per esclusione, l'asserto 1.

    Esaminando la validità dell'ipotesi 2, Saccheri si accorse che il quinto postulato non era di per sé incompatibile con essa, quindi anche i teoremi dedotti  dal postulato continuavano ad essere veri, tra questi considerò quello per cui "la somma degli angoli interni di un quadrilatero è uguale a quattro angoli retti", ma nell'ipotesi  dell'angolo ottuso la somma degli angoli è maggiore di quattro retti, quindi la seconda ipotesi decade.

    In realtà questa ipotesi non era decaduta, perché Saccheri non dimostrò incoerenza tra conseguenze e premesse assunte in via ipotetica, ma solo l'incompatibilità tra l'ipotesi ammessa e le conseguenze connesse all'ipotesi euclidea.
 

Poi Saccheri considerò la terza ipotesi:
 
 

                                                                Figura 10.
 
 

    Se fosse valida allora, dati una retta a e un punto P esterno e complanare ad essa, nel fascio di rette che passano per quel punto, esisto due rette, b e c, che si avvicinano ad a senza secarla e la cui distanza dalla retta a diventa sempre minore di un segmento piccolo a piacere. Dunque le rette b e c non incontrano la retta a, ma neppure hanno una perpendicolare in comune con essa o meglio, sia la retta b che la retta c hanno una perpendicolare in comune con a solo nei punti d'incontro all'infinito. Tutto ciò, sostenne Saccheri, è contro la natura della retta.
 

    Saccheri pensò così di aver dimostrato il quinto postulato, ma in realtà non pervenne ad alcun assurdo; arrivò invece a descrivere due geometrie che non contenevano il postulato: una che si avvaleva dell'ipotesi dell'angolo ottuso e l'altra dell'ipotesi dell'angolo acuto.

    Quasi un secolo più avanti, queste geometrie saranno rispettivamente definite Geometria Ellittica e Geometria Iperbolica.

    L'opera di Saccheri rappresenta un punto di svolta per almeno tre ragioni:

a.  per aver inaugurato, involontariamente, la sintesi effettiva delle Geometrie Non Euclidee.
b.  per aver aperto la strada (con la sua "dimostrazione" per assurdo) alla possibilità di ipotizzare la non validità del quinto
     postulato.
c.  per aver aperto la strada  all'idea di fondare la validità di una geometria sulla sua non contraddittorietà logica (e non
    sull'evidenza intuitiva).