Soluzione 17.

1. Il polinomio minimo di √5 su Q è (si veda la soluzione dell'esercizio 1) x²-5. Essendo √5 algebrico su Q, lo è anche sull'estensione Q(v). Il polinomio minimo di √5 su Q(v) è ancora x²-5 perchè x²-5 è irriducibile su Q(v). Proviamolo: v=i√5 implica v²+5=0 e p_v=x²+5 è irriducibile in Q[x] perchè non ha radici, quindi è il polinomio minimo di v su Q. Ne segue che [Q(v):Q]=2, e che quindi Q(v)={a+bv, a,b∈Q}. Dire che x²-5 è irriducibile su Q(v) equivale a dire che non esistono a,b∈Q tali che (a+bv)²=5 cioè tali che a²-5b²+2abi√5=5 cioè tali che a²-5b²-5=0 e 2ab=0 il che è vero.

2. Si ha che: deg(p_u)=2=deg(p_v) da cui la dimensione di Q(u) e Q(v) come Q-spazi vettoriali è in entrambi i casi 2. Le basi sono: {1, u}={1, √5} e {1, v}={1, i√5}. Inoltre [Q(u,v):Q]=4, perchè Q(u,v)=Q(u)(v) e abbiamo visto che [Q(u)(v):Q(v)]=2 e che [Q(u):Q]=2. Quindi per il teorema della torre si ha che una base di Q(u,v) come Q-spazio vettoriale è data dai quattro prodotti: {1, u, v, uv}={1, √5, i√5, 5i}.

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