Soluzione
16.
- Si ha: u=1+i
⇒ (u-1)2=-1
⇒ u2-2u+2=0
e: v=i√2
⇒ v2=-2
⇒ v2+2=0
Quindi
x²-2x+2 ed x²+2
sono rispettivamente i polinomi
minimi di u e di v
su Q
essendo essi polinomi a coefficienti razionali, monici ed irriducibili di secondo grado
(nel primo caso Δ=-4
e nel secondo Δ=-8,
non quadrati in Q)
che si annullano in u il primo ed in v
il secondo. Dunque, poichè il grado dell'estensione
di campi K(u)/K è pari al grado del polinomio minimo di u
su K, risulta che: [Q(1+i):Q]=[Q(i√2):Q]=2.
- Sia z=i+√2.
Si ha z²=1+2i√2.
Allora i√2=(z²-1)/2∈Q(z)
quindi Q(i√2)⊆Q(i+√2).
- I campi Q(i)
e Q(i√2)
sono sicuramente isomorfi come gruppi abeliani additivi ma
se esistesse una φ isomorfismo di anelli si avrebbe φ(a)=a
per ogni a∈Q (vedi soluzione esercizio
15a). Se φ(i)=a+ib√2
con a,b∈Q, allora -1=φ(-1)=φ(i²)=φ(i)²=a²-2b²+2abi√2,
ancora assurdo perchè non esistono soluzioni a
e b razionali del sistema a²-2b²=-1,
2ab=0.
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