ClockDefinizione
    ClockDef. generale

ClockEquivalenza affine

ClockProprietÓ affini

ClockQuadriche a centro

Teoria delle quadriche


Definizione generale

Consideriamo il campo $ K = \mathbb {R}, \mathbb {C}$ ( $ \mathbb {R} \,$ campo reale, $ \mathbb {C} \,$ campo complesso).
Sia $ K^n$ l'$ n$-spazio numerico su $ K$.

Definizione 1   Una funzione polinomiale quadratica è una funzione $ {f:K^n
\rightarrow K}$ tale che esistono una forma quadratica $ q:K^n
\rightarrow K$,  una forma lineare $ \ell:K^n\rightarrow K$
e una costante $ c\in K $ con

$\displaystyle f(x)=q(x)+\ell(x)+c $



Definizione 2   Una quadrica in $ \,K^n\,$ è un sottoinsieme $ \,\mathcal{Q}\,$ di $ \,K^n\,$ del tipo

$\displaystyle \mathcal{Q} = \{ x\in K^n \hspace{1mm} \vert\hspace{1mm} f(x)=0 \}$

dove $ f$ è una funzione polinomiale quadratica.

Esempio     per $ n=3$ sia $ f:K^3 \rightarrow K$ data da:

$\displaystyle f(x,y,z) = \underbrace{2x^2+3y^2+3z^2+2xy}_{\mbox{forma quadratica }}
\underbrace{-4x+2y-2z}_{\mbox{forma lineare}} + 4
$

Allora   $ \quad 2x^2+3y^2+3z^2+2xy-4x+2y-2z+4=0 \quad$   rappresenta una quadrica in $ K^3$.

Due funzioni polinomiali quadratiche $ f$ e $ g$ sono proporzionali quando esiste uno scalare $ a \in K\backslash \{0\}$ tale che $ g=af$. La relazione di proporzionalità tra funzioni polinomiali quadratiche è una relazione d'equivalenza.
Quindi il sottoinsieme di $ K^n$ definito dall'annullarsi di $ f$ dipende solo dalla classe di proporzionalità di $ f$ che d'ora in poi indicherò con $ [f]$. Di solito una quadrica si indica con $ \,\mathcal{Q}\,$ ma si intende che è data da una classe di proporzionalità $ [f]$ tale che $ f$ si annulla precisamente in $ \,\mathcal{Q} \subseteq
K^n$.