Geometria iperbolica > Coerenza della geometria iperbolica
COERENZA DI UN SISTEMA ASSIOMATICO FORMALE

Un sistema assiomatico è detto coerente se non dà luogo ad alcuna contraddizione nei suoi fondamenti, ossia nei suoi termini primitivi, termini definiti e assiomi.
Di solito, per dimostrare la coerenza di un sistema assiomatico formale, se ne fornisce un "modello".
DEFINIZIONE
 
Dicesi modello di un sistema assiomatico formale ogni interpretazione (= assegnazione di significato) dei termini primitivi tale che gli assiomi diventino enunciati veri.
L'idea è che, siccome i termini primitivi non hanno un significato intrinseco, possiamo attribuirgliene uno a piacere. Con ciò anche gli assiomi acquistano un significato: se poi essi risultano tutti veri, abbiamo un modello.
Vi possono essere vari tipi di modelli, i quali testimoniano in diversi gradi la coerenza di un sistema. Alcuni sono semplici, fisici, concreti e comprensibili fino all'ultimo particolare e riescono a dimostrare la coerenza "assoluta" di un sistema, altri si limitano a trasferire la questione della coerenza da un sistema ad un altro e forniscono una prova di coerenza detta "relativa".
Per la geometria iperbolica si conoscono solo dimostrazioni di coerenze relative.

E' possibile dimostrare la non contraddittorietà relativa di tale geometria rispetto a quella euclidea, costruendo un modello sintetico della prima, ovvero costruendo un modello euclideo della geometria non euclidea.
Questo prevede tre momenti principali:
 
  1. l'interpretazione dei concetti primitivi della geometria iperbolica su altrettanti concetti della geometria euclidea,
  2. la conseguente traduzione degli assiomi della geometria iperbolica in corrispondenti enunciati euclidei,
  3. la dimostrazione che gli enunciati euclidei corrispondenti agli assiomi iperbolici sono tutti teoremi della geometria euclidea.

Partendo dall'ipotesi che la geometria è coerente, se in un modello troviamo una contraddizione, siamo portati a trasferirla alla geometria euclidea, e dunque a dubitarne della coerenza, arrivando ad una contraddizione.
 

Modello di Poincaré

Modello di Beltrami

Arte iperbolica

Geometria di Riemann