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Esercizi dinamici con l'applet Non Euclid
 
NonEuclid permette di studiare due modelli di geometria iperbolica piana noti rispettivamente come modello del disco e modello del semipiano di Poincaré. E' possibile scegliere una delle due opzioni cliccando nel menu dell'applet: Visualizza > modello iperbolico > disco/semipiano.
In questa trattazione è stato descritto il modello del piano di Poincaré, grazie all'applet Non Euclid è ora possibile sperimentare ciò che finora si è solo immaginato.
La grande circonferenza che compare all'avvio di NonEuclid è la circonferenza limite. Essa delimita l'area dello schermo in cui si possono eseguire costruzioni geometriche e individua l'intero piano iperbolico.
E' possibile ora costruire oggetti e verificarne le proprietà, per familiarizzare con questo nuovo tipo di strana geometria!
 
Uno degli esercizi di maggiore interesse da svolgere con NonEuclid consiste nel partire da alcuni enunciati di teoremi validi in geometria euclidea e di vedere quali di questi enunciati rimangono validi anche in geometria iperbolica.

L'utilizzo dell'applet è molto semplice, i comandi sono chiari e precisi: attraverso il menu Costruzioni è possibile disegnare punti, segmenti, rette, circonferenze, semirette, perpendicolari, bisettrici ecc.
E' possibile inoltre inserire etichette, scegliere il colore dei diversi oggetti, spostare i punti disegnati, misurare lunghezze, distanze ed angoli.
Per iniziare a lavorare con Non Euclid clicca su questo bottone.

 

Esercizio guidato: verificare che la somma degli angoli interni di un triangolo vale meno di 180°.

Il triangolo iperbolico di figura si costruisce eseguendo i seguenti passaggi:

- Seleziona l'opzione "Segmento" dal menu "Costruzioni".
- Sposta il mouse all'interno della circonferenza limite.
- Clicca con il mouse in un punto interno alla circonferenza limite. Così viene rappresentato sullo schermo il punto A.
- Clicca con il mouse in un secondo punto interno alla circonferenza limite. Così compare sullo schermo il punto B e viene disegnato il segmento iperbolico che congiunge A con B.
- Clicca con il mouse in corrispondenza del punto B.
- Clicca con il mouse in un terzo punto interno alla circonferenza limite. Così viene rappresentato sullo schermo il punto C e viene disegnato il segmento iperbolico che congiunge B con C.
- Clicca con il mouse in corrispondenza dei punti C e A. Così viene disegnato il segmento iperbolico che congiunge C con A ed il triangolo iperbolico è costruito.
- A questo punto, aprendo il Menu "Misure" e selezionando l'opzione "Misura Triangolo" è possibile ottenere le lunghezze dei lati del triangolo e le misure dei suoi angoli interni.
Osserviamo che la somma dei tre angoli interni del triangolo è MINORE DI 180°.

Esercizio guidato: osservare che in geometria iperbolica la formula Area = (base x altezza)/2 offre tre risposte diverse in relazione al lato che si sceglie come base del triangolo.
Il triangolo ABC è scaleno. I segmenti AX, BY e CZ individuano le tre altezze del triangolo ABC. Osserviamo che, come in geometria euclidea le tre altezze si intersecano in un unico punto.
Misurando lati e angoli del triangolo otteniamo:


lunghezza della base AB = 3,3 altezza CZ = 1,1
lunghezza della base BC = 3,0, altezza AX = 1,9
lunghezza della base AC = 2,1 altezza BY = 2,5
angolo AXB = angolo AXC = 90°
angolo BYA = angolo BYC = 90°
angolo CZA = angolo CZB = 90°

Se ora proviamo a calcolare l'area del triangolo usando la formula A=bh/2 troviamo che il numero ABxCZ/2 è DIVERSO da BCxAX/2 e da ACxBY/2.
Una formula che da tre risposte diverse in relazione al lato che si sceglie come base del triangolo risulta chiaramente inaccettabile, per cui A=bh/2 non può essere considerata una formula valida per il calcolo dell'area di un triangolo iperbolico.
Esercizi proposti:

- Vedere se in un triangolo il lato maggiore è sempre opposto all'angolo di ampiezza maggiore.

- Vedere se le tre altezze di un triangolo si intersecano in un unico punto detto ortocentro (per costruire l'altezza di un triangolo si utilizzi il comando "Perpendicolare" nel menu "Costruzioni") .

- Vedere se in un triangolo il prodotto "base per altezza" assume lo stesso valore indipendentemente dal lato di base scelto.

- Verificare che non vale il Teorema di Pitagora: dato un triangolo rettangolo la somma dei quadrati delle lunghezze dei cateti non è uguale al quadrato della lunghezza dell'ipotenusa.

- Vedere se icriteri di congruenza dei triangoli validi in geometria euclidea continuano a valere in geometria iperbolica.

- Vedere se è' possibile costruire un quadrilatero regolare.

- Vedere se le diagonali di un quadrilatero regolare sono tra loro perpendicolari.

- Costruendo diversi triangoli iperbolici e misurando il loro difetto verificare che se il triangolo è "piccolo" anche il suo difetto risulta tale per cui la somma degli angoli interni del triangolo si avvicina al valore 180°. [Più precisamente si verifica che al tendere a zero del perimetro del triangolo la somma degli angoli interni tende al valore 180°].
Al contrario per triangoli "grandi" il difetto risulta a sua volta "grande". [Al tendere all'infinito delle lunghezze dei lati del triangolo gli angoli tendono a zero e il difetto si avvicina al valore massimo di 180°].

- Verificare che il difetto è additivo.
 

Modello di Poincaré

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