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Introduzione alla geometria iperbolica

Uno dei postulati logicamente equivalenti al V è quello di Playfair, quindi una buona negazione del V può essere formulata come la negazione del postulato di Playfair.
Ovvero:

 
Esistono almeno un punto P ed una retta AB tali che
i) P non è su AB né sul suo prolungamento
ii) per P passano almeno 2 rette parallele ad AB

  

Accettiamo la geometria neutrale e sostituiamo il V postulato con questo, saremo allora in una geometria non euclidea: quella iperbolica.

Come è possibile che vi siano due parallele alla stessa retta passanti per lo stesso punto?


Siamo abituati a pensare che, data AB ed il punto P, ci sia solo la retta CD come parallela alla prima.

fig.1
Ma proviamo a pensare che ne esista una seconda: pensiamo ad una retta passante per P che non coincida con CD.

fig.2

Diremmo che questa non possa essere parallela ad AB perché convinti che incontri AB in un certo punto prima o poi. Ma proviamo a prescindere dall'apparenza del disegno; possiamo dimostrare che il prolungamento di EF debba per forza incontrare AB?
Teniamo presente che siamo in una geometria neutrale a cui abbiamo aggiunto la negazione del postulato di Playfair, non abbiamo più il teorema 30 di Euclide che ci dice che rette parallele ad una stessa retta sono parallele fra loro, quindi non deve disturbarci il fatto che nel nostro caso EF e CD, entrambe parallele ad AB, si incontrino in P.

E ancora, non abbiamo più il postulato di Euclide che ci porterebbe a dire che, poiché PQB+QPF<180°, le due rette AB e EF si incontrano.

fig.3

E potremmo andare avanti ancora, scontrandoci con asserzioni logicamente equivalenti al V postulato, e trovandoci a dover ogni volta ricordare che l'abbiamo negato.

La verità è che nel disegno sembra talmente evidente che EF incontrerà AB che crediamo di poterlo dimostrare, ma significherebbe dimostrare che AB è l'unica parallela, ovvero dimostrare il postulato euclideo, problema che è stato spina nel fianco dei matematici per 2000 anni!

Ai nostri occhi può sembrare che la negazione del postulato di Playfair sia "incompatibile con la natura di una linea retta", per dirla alla Saccheri, ma dobbiamo sforzarci di superare ed ingannare il consueto modo di pensare la geometria e non spaventarci dal fatto che la geometria iperbolica sfugge da ogni tentativo di rappresentazione intuitiva.
Proviamo a passare da un sistema assiomatico materiale, o teoria scientifica, a un sistema assiomatico formale.

E convinciamoci che un sistema matematico (sistema assiomatico formale) è sostanzialmente una pura struttura logica, alla quale si può annettere un significato o meno.
Forse in questo modo la geometria iperbolica ci disarmerà un po' meno.

Proviamo per un attimo a credere che le rette CD e EF siano entrambe parallele ad AB senza pretendere che questo abbia il significato che siamo soliti attribuire alla geometria che descrive il nostro mondo fisico.


Disegniamo in questo modo le nostre rette:
fig.4

Ora forse è più facile credere che EF non necessariamente incontrerà AB.
Del resto possiamo accettare questo disegno poiché la geometria iperbolica è un sistema assiomatico formale e "linea retta" è un termine non definito e non possiamo realmente sapere come si comporti quando la prolunghiamo.
Di EF sappiamo che è parallela ad AB e che non la incontrerà, effettivamente l'ultimo disegno tiene conto di questo e non ci costringe a dubitare.

N.B. Con il disegno di fig.4 non intendo dire che nella geometria iperbolica le linee rette si incurvano.
In realtà non sappiamo ancora come si comportino; "linea retta" è semplicemente un'espressione per indicare uno dei tipi di oggetti di cui la geometria iperbolica si occupa.
E' importante capire che fig.4 offre una rappresentazione non meno valida di fig.2.

Per conoscere alcune rappresentazioni della geometria iperbolica si vedano i suoi principali modelli.