Rette parallele? > La questione delle rette parallele
La questione delle parallele

 

Consideriamo una retta r fissa ed una retta s che può ruotare in senso antiorario attorno al punto P.
Indichiamo con Q il punto in cui r ed s si intersecano.


Man mano che la retta s ruota in senso antiorario si vede che il punto Q si allontana verso destra sulla retta r.

Il punto Q si muove con continuità su r: piccole rotazioni di s determinano piccoli spostamenti di Q (e viceversa).
Q assume dunque via via tutte le posizioni possibili su r, ovvero passa per tutti i suoi punti.
Al ruotare della retta s, Q si allontana sempre di più fino ad arrivare ad una (e una sola) situazione in cui sembra proprio che le due rette non si intersechino e che quindi Q non esista. In questa situazione le due rette si dicono parallele .

Continuando a ruotare s ci accorgiamo che il punto Q ricompare su r, questa volta però Q è a sinistra, e le due rette riprendono ad intersecarsi.




Nella geometria euclidea si assume, assecondando l'intuizione, che sia una sola la retta parallela ad r passante per P (punto non appartenente ad r), ovvero che ci sia una sola situazione in cui r ed s non si incontrano.
Tale assunzione non è altro che il V postulato di Euclide.
Ma cerchiamo di andare oltre e di non lasciarci condizionare dalla nostra intuizione di rette parallele!
Il punto Q ha un comportamento molto strano: si muove con continuità su r allontanandosi "all'infinito" verso destra per poi ricomparire improvvisamente "infinitamente" lontano da sinistra, riprendendo il suo movimento continuo su r.
Cosa succede a Q quando lo perdiamo di vista?
Proviamo ad immaginare che esista un punto all'infinito, comune alle rette r ed s, che chiamiamo Q*.
Questo consentirà a Q di evitare la discontinuità che abbiamo osservato prima, facendo da ponte tra l'"infinitamente" lontano a destra e l'"infinitamente" lontano a sinistra.


In questo modo cambiano molte cose, le rette infatti si comportano come delle curve chiuse e, in particolare, due rette si incontrano sempre; non esistono dunque rette parallele.
Potremmo visualizzare una retta come nella figura che segue, simile ad una circonferenza.

Abbiamo appena ottenuto un modello non euclideo della retta. Tutte le rette tra loro parallele hanno in comune uno stesso punto all'infinito e rette con diversa direzione individuano diversi punti all'infinito.

Immaginando l'esistenza di Q* siamo finiti in un "piano" che, con i suoi punti all'infinito, è diventato "curvo" e chiuso.

Non approfondiremo in questa trattazione questo modello di piano, che prende il nome di piano proiettivo, ma chi fosse interessato ad una conoscenza un pò più precisa della geometria proiettiva può consultare il sito ...

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