Nicolaj Ivanovic Lobacevskij

Sia il giovane Bolyai sia Gauss ignoravano che già da tempo idee analoghe avevano visto la luce a Kazan in Russia per opera di Nicolaj Ivanovic Lobacevskij (1793-1856).
Professore presso l'università di quella città, Lobacevskij i fin dal 1817 aveva intrapreso una revisione critica dei principi della geometria, di cui presentava i primi risultati ai colleghi dell'Exposition succinte des principes de le géometrie, avec une démonstration rigoureuse du théorème des parallèles (1826), un testo di cui ci resta solo il titolo, ma che ai matematici di Kazan apparve troppo rivoluzionario per essere pubblicato dalla Facoltà. Lobacevskij rendeva allora noti i suoi principali risultati nel saggio Sui principi della geometria, apparso tra il 1829 e il 1830 nel "Kazanski Vestnik" (Messaggero di Kazan).
A questo primo, fecero seguito altri due articoli pubblicati ancora a Kazan, La geometria immaginaria (1835) e i Nuovi principi della geometria con una teoria completa delle parallele (1835-1838).
Nell'intento di far conoscere le sue teorie all'estero, Lobacevskij pubblicò nel 1837 una traduzione francese della Geometria immaginaria e poi le Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien (Ricerche geometriche sulla teoria delle parallele), un volume apparso a Berlino nel 1840, che trovò un attento lettore in Gauss il quale, in una lettera a Schumacher del 1846, scriveva:

I titoli stessi delle opere di Lobacevskij mettono in evidenza il fatto che egli non si limitò ad affrontare soltanto la questione delle parallele, ma rivolse i suoi sforza a una rifondazione globale della geometria. Nel 1828, in un discorso pronunciato a Kazan, Lobacevskij si richiamava a Bacone e affermava che il filosofo inglese aveva indicato nell'interrogazione sistematica della natura i "mezzi per la conquista della conoscenza".
Questo era il metodo seguito da Lobacevskij nella sua indagine sui "nuovi principi" della geometria, all'interno della quale egli collocava anche la teoria delle parallele. Essa non gli appariva infatti questione da affrontare in termini puramente logici, dimostrando che l'ipotesi dell'angolo acuto -per usare l'espressione di Saccheri- non era contraddittoria, ma al contrario che era coerente con più generali principi "ottenuti dalla natura" e "conseguenza necessaria dell'essenza delle cose".
In questo senso per Lobacevskij il postulato di Euclide o le altre proposizioni ad esso equivalenti cui ricorrevano così spesso i geometri "per quanto appaiano semplici, sono ciò nondimeno arbitrarie e non possono pertanto essere ammesse".
Nell'Introduzione ai Nuovi principi della geometria scriveva:

Egli stesso aveva infatti compiuto misurazioni per gli angoli di un triangolo con vertici la Terra, il Sole e la stessa Sirio, concludendone, come Gauss nelle Disquisitiones, che lo scarto trovato tra la somma degli angoli del triangolo e p era trascurabile, e comunque imputabile agli errori dovuti agli strumenti.
Ai fini pratici, dunque, l'ordinaria geometria euclidea si poteva senz'altro ritenere in accordo coi dati dell'esperienza.
D'altra parte scriveva che "nella nostra immaginazione lo spazio può essere ampliato senza limiti" e "la natura stessa ci indica distanze" al cui confronto quella astronomica tra la terra e le stelle fisse appare trascurabile. Egli affermava che "nella natura noi abbiamo cognizione, propriamente, soltanto del movimento, senza il quale le sensazioni sensoriali sono impossibili" e dunque i concetti geometrici non sono che "creazioni artificiali della nostra mente, tratte dalle proprietà del movimento; ecco perché lo spazio in sé, separatamente [preso] per noi non esiste".
Lobacevskij non vedeva alcuna contraddizione per la nostra mente nel supporre che "talune forze della natura segnano una geometria, altre un'altra loro particolare geometria".