Le geometrie non euclidee > La prima pubblicazione sulla geometria non euclidea, János Bolyai

La prima pubblicazione sulla geometria non euclidea, János Bolyai

Le Disquisitiones aprivano ai matematici un nuovo campo di ricerche, quello dello studio di una superficie a curvatura variabile, che abbracciava anche le problematiche delle geometrie non euclidee.
Qualche anno più tardi Gauss si decise a pubblicare quello che aveva scoperto sulle geometrie non euclidee.
Scriveva infatti a Schumacher il 17 maggio del 1831:
 
Da qualche settimana ho cominciato a metter per iscritto qualche risultato delle mie meditazioni su questo soggetto, che risalgono in parte a quarant'anni, e di cui non avevo mai nulla redatto; cosa che mi ha costretto tre o quattro volte a ricominciare tutto il lavoro nella mia testa. Non vorrei pertanto che tutto ciò perisse con me.

  
In una lettera a Schumacher del 12 luglio 1831 Gauss aggiungeva:
 
In questo senso la geometria non euclidea non contiene assolutamente nulla di contraddittorio, sebbene molti dei suoi risultati debbano sulle prime essere ritenuti paradossali; tuttavia scambiare ciò per una contraddizione sarebbe unicamente un'illusione, provocata dalla vecchia abitudine a considerare la geometria euclidea come strettamente vera.

  

Nel corso della stessa lettera egli ricorda alcuni fra questi risultati di apparenza paradossale: nella geometria non euclidea non esistono figure simili che non siano anche uguali, gli angoli di un triangolo equilatero non hanno misura costante ma, al crescere della lunghezza dei lati, diventano piccoli a piacere. La geometria non euclidea contiene grandezze assolute, a differenza di quella euclidea.
Egli fornisce poi la formula che esprime, nella geometria non euclidea, la misura della circonferenza di raggio R,



dove "k è una costante, della quale noi sappiamo per via d'esperienza che essa deve essere eccezionalmente grande, in confronto a tutto ciò che possiamo misurare. Nella geometria di Euclide essa diviene infinita." E' appunto questa costante k l'unità assoluta di misura dei segmenti di cui parla Gauss.

Ma gli appunti allora abbozzati furono presto interrotti quando nel 1832 gli giungeva tra le mani una prima pubblicazione sulla geometria non euclidea ad opera di Janos Bolyai.
Janos Bolyai (1802-1860), nonostante le esortazioni del padre a non occuparsi delle questioni relative al V postulato che erano state per lui fonte di lunghi e vani sforzi, fece della teoria delle parallele l'oggetto preferito delle sue riflessioni. Dopo alcuni inutili tentativi di dimostrazione del V postulato, estese le sue ricerche nella direzione della geometria assoluta, e nel 1823 aveva già trovato alcune formule fondamentali della geometria non euclidea (nonostante fosse inizialmente deciso a dimostrare il V postulato).

Egli scriveva in una lettera del 3 novembre al padre Farkas Bolyai:
 
Sono ormai risoluto a pubblicare un'opera sulla teoria delle parallele, appena avrò ordinato la materia e le circostanze me lo permetteranno. Non l'ho ancora fatto, ma la via che ho seguito ha certamente, per così dire, quasi raggiunto lo scopo; lo scopo proprio non è raggiunto, ma ho scoperto cose così belle che ne sono rimasto abbagliato, e si dovrebbe sempre rimpiangere se andassero perdute. Quando le vedrete, lo riconoscerete voi pure. Nell'attesa non vi posso dire altro che questo: ho creato dal nulla un nuovo universo. Tutto ciò che vi ho comunicato fino ad ora non è che un edificio di carta di fronte a questa torre. Sono tanto persuaso che questo mi farà onore come se ciò fosse già avvenuto.

  
In risposta il padre lo esortava a dare alla luce immediatamente le sue scoperte, scrivendogli:
 
..se la cosa è perfettamente riuscita, è conveniente affrettarsi a renderla di pubblica ragione per due motivi: primo perché le idee passano facilmente da uno all'altro, che in seguito le può pubblicare prima; in secondo luogo, perché c'è anche qualche verità in questo fatto, che parecchie cose hanno un'epoca, nella quale esse sono trovate nello stesso tempo in più luoghi, precisamente come in primavera le violette da ogni parte vengono alla luce; e poiché ogni contesa scientifica è solo una gran guerra, alla quale non so quando seguirà la pace, si deve, quando si può, vincere, poiché qui il vantaggio spetta al primo.

  
I risultati di János Bolyai comparvero come appendice al I volume di un'opera didattica di matematica del padre, uscita nel 1832 col titolo Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos purae, elementaris ac sublimioris, methodo intuitiva, evidentiaque huic propria, introducendi. Il titolo dell'appendice di János è: Appendix scientiam spatii absolute vera exhibens, a veritate aut falsitate axiomatis Euclidei (a propri haud unquam decidenda) indipendentem: adjecta ad casum falsitatis quadratura circoli geometrica.
La "scienza dello spazio assolutamente vera" che Bolyai annunciava era la geometria indipendente dal postulato delle parallele, di cui i primi 28 teoremi degli Elementi di Euclide erano un esempio elementare. Egli considerava poi le formule fondamentali della trigonometria sferica, che è indipendente dal postulato euclideo, e mostrava che per una sfera di raggio infinito F la geometria sferica era identica a quella piana.
Bolyai sviluppava poi la trigonometria piana nel caso non euclideo, ne applicava le formule al calcolo delle aree e affrontava infine il problema della costruzione di un quadrato equivalente ad un dato cerchio.

Gauss venne a conoscenza dell'opera in questione poiché Farkas Bolyai gli inviò una copia del suo volume.
E in risposta egli gli scrisse:
 
Se comincio col dire che non posso lodare un tale lavoro tu certamente per un istante rimarrai meravigliato; ma non posso dire altro; lodarlo significherebbe lodare me stesso; infatti tutto il contenuto dello scritto, la via seguita da tuo figlio, i risultati ai quali egli perviene coincidono quasi interamente con le meditazioni che ho intrapreso in parte già da trenta-trentacinque anni. Perciò sono rimasto del tutto stupefatto….Anzi, era mia idea scrivere, col tempo, tutto ciò, perché almeno non perisse con me. E' dunque per me una gradevole sorpresa vedere che questa fatica può essermi ora risparmiata, e sono estremamente contento che sia proprio il figlio del mio vecchio amico ad avermi preceduto in un modo tanto notevole.

  
Se Farkas vide nella lettera di Gauss "un onore per la nostra patria e la nostra nazione", János reagì assai diversamente. Egli non gradì affatto questa risposta di Gauss e, incredulo che il matematico di Gottinga potesse averlo preceduto nella sua creazione, temette che questi volesse appropriarsi delle sue scoperte.
Vedendo nella poco generosa lettera di Gauss un maldestro tentativo di plagio egli non nascose nel seguito della sua vita la sua avversione verso il grande matematico tedesco.