Il giudizio favorevole di Gauss aveva
convinto Schweikart a proseguire le ricerche sulla geometria
astrale, alle quali esortò il nipote Franz Adolph Taurinus
(1794-1874), anch'egli giurista.
Taurinus era fortemente convinto della necessità del
postulato euclideo e della possibilità di dimostrarlo.
Nella Theorie der Parallellinien (Teoria delle parallele),
pubblicata nel 1825, presentava sviluppi analoghi a quelli
di Saccheri e di Lambert e determinava la costante di Schweikart,
ma ribadiva il suo rifiuto per l'ipotesi dell'angolo acuto
-pur riconoscendo che non ne derivavano contraddizioni- poiché
"ripugna ogni intuizione"
dello spazio.
L'anno successivo Taurinus ripubblicava le sue ricerche, perfezionandole,
nei Geometriae prima elementa cui allegava un'appendice sugli
sviluppi deducibili dall'ipotesi dell'angolo acuto; risultati
che egli congetturava essere forse possibili in qualche sorta
di geometria.
Il giovane giurista otteneva tra l'altro la formula fondamentale
di una nuova geometria che egli chiamava
"logaritmico-sferica",
per cui la somma degli angoli di un triangolo era minore di
p e al tendere dei
lati del triangolo a zero la somma tendeva a p e i triangoli
differivano sempre meno da quelli euclidei. Le formule della
nuova trigonometria si potevano ottenere da quelle dell'usuale
trigonometria sferica considerando immaginario il lato della
sfera (cioè ponendo
al
posto di
r).