Le geometrie non euclidee > Due giuristi alle prese con la geometria: Schweikart e Taurinus > Le misurazioni di Gauss
Le misurazioni di Gauss

Nel 1820 Gauss fu incaricato di un progetto di rilevamento cartografico dello stato tedesco dell'Hannover.
Doveva rilevare enormi triangoli i cui vertici erano costituiti da campanili o cime di montagne, che erano visibili nonostante la curvatura terrestre. (E' interessante notare che lo studio della geometria di Gauss cominciò proprio dall'origine storica alla quale si fa risalire il termine stesso di geometria, cioè la misura della Terra).
Gauss costruì uno speciale strumento che gli permetteva di riflettere la luce del sole in una direzione controllabile con molta precisione dall'operatore che poteva finemente regolare lo specchio di cui lo strumento era dotato.
Venne misurato ogni triangolo più volte e dei risultati ottenuti -leggermente diversi- si fece la media.
Il procedimento classico usato nell'esecuzione di un rilievo geodetico si chiama "triangolazione". Si scelgono un certo numero di punti di riferimento nel paesaggio e si misurano con cura le distanze fra coppie diverse di punti di riferimento. La regione di cui si esegue il rilievo viene ricoperta da una rete di triangoli i cui lati e i cui angoli vengono determinati attraverso strumenti di misurazione nel modo più preciso possibile. E' un'operazione relativamente semplice e noiosa che porta via molto tempo ed è soggetta a errori. Da questa enorme mole di dati bisogna dedurre le distanze, in linea d'aria, di punti inaccessibili uno dall'altro.

Gauss riferì i risultati relativi al più grande di quei triangoli (quello che aveva come vertici le cime dei monti Hohenhagen, Brocken, Inselberg) a conclusione di uno scritto del 1827: Disquisitiones generales circa superficies curvas. La sua conclusione era che, nei limiti di precisione degli strumenti, la somma degli angoli era 180°. Ovvero che il triangolo terrestre che ha per vertici le colline di Brocken, Hohehagen e Inselberg si comporta agli effetti pratici come un triangolo su un foglio piano, poiché l'errore che si commette è impercettibile.

Il fine dichiarato da Gauss era di confrontare il triangolo rettilineo giacente nel piano che passa per le tre cime delle montagne (i tre vertici) con il corrispondente triangolo curvilineo tracciato al di sotto del primo sulla superficie terrestre.

Le misurazioni di Gauss sono una conferma sperimentale del V postulato, ma non certo una dimostrazione. La matematica ha, infatti, criteri ben diversi da quelli delle scienze sperimentali: in matematica le lunghezze sono definite ed esatte, ma nessuno strumento può misurare la lunghezza di un oggetto fisico con precisione superiore a poche cifre decimali.
Il risultato di una misurazione non è mai un numero esatto, ma piuttosto un intervallo numerico; così una lunghezza misurata non è una lunghezza nel senso matematico del termine.
Le misurazioni del triangolo gigante dunque non dimostrano il V postulato e in generale nessuna misurazione di un triangolo potrà mai dimostrarlo perché, per quanto si possano ridurre, gli errori sperimentali non si potranno mai eliminare completamente.