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Disquisitiones generales circa superficies curvas

Disquisitiones generales circa superficies curvas.

Per capire il pensiero di Gauss esaminiamo, sia pure in modo molto superficiale, i risultati teorici sullo studio delle superfici curve pubblicati in un saggio del 1827 intitolato Disquisitiones generales circa superficies curvas.

Vediamo i principali paletti teorici dei suoi studi.

Una superficie, come per esempio quella della Terra, può essere pensata immersa in uno spazio tridimensionale e studiata con i classici metodi della geometria analitica cartesiana, utilizzando tre coordinate x, y, z; oppure può essere descritta utilizzando due coordinate curvilinee u, v. Nel caso della superficie terrestre queste sono la longitudine e la latitudine.
La latitudine è la distanza angolare di un punto dall'Equatore, misurata in gradi e frazioni di grado, sull'arco di meridiano passante per quel punto. Alla misura in gradi bisogna aggiungere N o S a seconda che il punto si trovi nell'emisfero boreale o in quello australe.

La longitudine è la distanza angolare di un punto dal meridiano di riferimento, o meridiano zero, che è quello passante per Greenwich, misurata in gradi e frazioni di grado, sull'arco di parallelo passante per quel punto. Alla misura in gradi bisogna aggiungere E o W a seconda che il punto si trovi a Est o a Ovest del meridiano fondamentale.

Gauss non utilizza l'equazione cartesiana del tipo f(x,y,z)=0, ma le equazioni parametriche

x=x(u,v); y=y(u,v); z=z(u,v)

dove u e v sono le coordinate curvilinee della superficie.

Nel caso del cerchio unitario è semplicemente:

Per la superficie della sfera unitaria il procedimento è analogo.
L'equazione cartesiana è:
x2+y2+z2-1=0
quindi del tipo f(x,y,z)=0.
Le equazioni parametriche sono:
  x=cosu·cosv
y=cosu·sinv
z=sinu
dove u è la latitudine, v la longitudine.

Il secondo passaggio fondamentale è quello di determinare il modo di calcolare le distanze sulla superficie.
Per calcolare la lunghezza di un arco infinitesimale si serve del teorema di Pitagora

(1) ds2=dx2+dy2+dz2

Dalle equazioni parametriche

x=x(u,v); y=y(u,v); z=z(u,v),

passando ai differenziali

dx=adu+a'dv; dy=bdu+b'dv; dz=cdu+c'dv
Sostituendo nella (1) si ottiene
ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2

dove E=a2+b2+c2, F=aa'+bb'+cc', G=a'2+b'2+c'2, nota con il nome di prima forma fondamentale.

Questa formula esprime la distanza tra due punti infinitamente vicini sulla superficie P(u,v) e Q(u+du,v+dv), da essa, applicando il calcolo delle variazioni, si possono ottenere le curve di minima distanza ossia le geodetiche.
Un'altra importante innovazione che Gauss introduce è la nozione di curvatura di una superficie.

Nel caso delle curve si parte dalla curvatura di un cerchio, che per definizione si assume come il reciproco del raggio, cioè K=1/R.
Per determinare la curvatura di una curva in un punto si considera il cerchio osculatore che è il cerchio tangente alla curva nel punto P.

Il cerchio osculatore si ottiene in questo modo:
si prendono tre punti sulla curva, piuttosto vicini, P',P,P''; per questi tre punti passa un solo cerchio;
quindi si fanno avvicinare sempre di più i punti P' e P'' a P, nella situazione limite in cui i tre punti coincidono, si ottiene il cerchio osculatore. La curvatura di questo cerchio è per definizione la curvatura della curva nel punto P.
La curva rappresentata ha nei due punti P e Q curvatura di segno opposto.

La curvatura di una retta è nulla.
L'approccio utilizzato per le curve, tuttavia, non è generalizzabile alle superfici. Gauss prende spunto da alcune tecniche utilizzate in astronomia.
La curvatura totale di una porzione limitata di superficie si definisce attraverso la nozione di normale. La normale alla superficie in un punto P è la retta passante da P e perpendicolare al piano tangente alla superficie condotto dal punto P.
Per definire la curvatura di una superficie, si serve di una sfera unitaria. Ad ogni punto P della superficie fa corrispondere un punto P' sulla sfera, in modo che entrambi abbiano la stessa normale. Se si considera una piccola regione della superficie contenete P, ad essa corrisponderà sulla sfera una regione contenente P'.
La curvatura della superficie in P è definita come il limite del rapporto tra l'area della regione sulla sfera e l'area della regione sulla superficie quando queste due aree tendono a ridursi ai rispettivi punti P e P'. Gauss ottiene la formula:
Dopo numerosi calcoli, Gauss dimostra una caratteristica particolarmente importante. In generale, i coefficienti A, B, C, D che compaiono nella formula della curvatura sembrano dipendere dalle coordinate cartesiane x,y,z. Se invece la superficie è data per mezzo di equazioni parametriche, i coefficienti di K dipendono esclusivamente dalle coordinate curvilinee u e v.
Da qui un risultato fondamentale per lo studio delle superfici: la curvatura non dipende dallo spazio circostante, ma è una caratteristica intrinseca alla superficie stessa.
In altre parole, si può stabilire se la superficie è curva o piana restando sulla superficie stessa, senza fare riferimento a un ipotetico spazio ambiente in cui è immersa.
Relativamente alla superficie terrestre si può stabilire il suo grado di curvatura effettuando esclusivamente misure sulla superficie, senza fare riferimento a osservazioni astronomiche.
In un passo successivo dimostra che la propria definizione di curvatura corrisponde a quella data da Eulero e ripresa da Monge. Eulero aveva proceduto in questo modo: per un punto della superficie aveva costruito il piano perpendicolare alla superficie in quel punto. Questo piano determina una curva della superficie, facendo ruotare il piano si ottengono curve con differente curvatura. Tra queste ce n'è una che ha la curvatura minima R1 e una che ha la curvatura massima R2. Gauss dimostra che la propria definizione di curvatura, K, si può ottenere dal prodotto delle due curvature principali, quella minima e quella massima K=1/R1·R2.
Questa proprietà ci permette di calcolare con facilità la curvatura di alcune superfici e di classificarle in base alla loro curvatura, che può essere positiva, negativa o nulla.

Gauss ottiene infine un teorema fondamentale per la trattazione delle superfici, il teorema definito da egli stesso "egregium": una superficie può essere sovrapposta su un'altra solo se le due superfici hanno la stessa curvatura.

Questo teorema comporta dei risultati di particolare importanza. Prima di tutto risolve l'annosa questione della rappresentazione di una superficie su un altra, in particolare della rappresentazione della superficie terrestre su una carta piana. Il teorema dimostra che ciò è impossibile perché un foglio piano ha curvatura nulla, mentre la superficie della Terra ha curvatura ovunque positiva. Tuttavia, nella parte conclusiva delle sue Disquisizioni, Gauss dimostra che il triangolo terrestre che ha per vertici le colline di Brocken, Hohehagen e Inselberg si comporta agli effetti pratici come un triangolo su un foglio piano, poiché l'errore che si commette è impercettibile.

Ma ancora più importante dal punto di vista teorico è la conclusione che un pezzo di superficie, per esempio un triangolo o un'altra figura geometrica, può essere trasportato da una parte a un'altra della superficie solo se questa ha in tutti i punti la stessa curvatura, ossia la curvatura della superficie è costante.

L'importanza di quest'ultima caratteristica delle superfici è in stretto rapporto con una delle proprietà fondamentali della geometria, la congruenza delle figure geometriche che si rileva spostando una figura su un'altra fino a farle sovrapporre. Se le figure si sovrappongono perfettamente allora sono uguali. Un'altra conseguenza è che il concetto stesso di misura si fonda sulla possibilità di trasportare l'unità di misura da una regione a un'altra senza che essa si deformi. Le superfici sulle quali si può costruire una simile geometria sono tutte quelle a curvatura costante, non solo il piano che ha curvatura costante nulla ma anche quelle che hanno curvatura costante positiva o negativa.
La superficie della sfera ha curvatura costante positiva, perché in ogni punto le due curvature principali sono costanti e positive.
La pseudosfera ha curvatura costante negativa, perché in ogni punto le due curvature principali sono costanti ma di segno opposto.
Il piano ha curvatura costante nulla perché in ogni punto le due curvature principali sono nulle.
Il cilindro ha curvatura costante nulla, perché in ogni punto una delle due curvature principali è sempre nulla.
Infine, Gauss costruisce i primi elementi della geometria sulle superfici. Nel piano le costruzioni geometriche partono dalle rette; sulle superfici non vi sono rette nel senso comune del termine ma linee geodetiche, le linee della superficie che uniscono due punti per mezzo del percorso più breve. Nel piano è un segmento di retta, sulla superficie sferica è un arco di cerchio massimo, sul cilindro è un arco di elica.

Quindi, inizia una prima trattazione dei triangoli geodetici delle superfici. Il primo risultato fondamentale è che la somma degli angoli interni di un triangolo geodetico su una superficie curva non è 180°. Lo scarto rispetto a 180° è dato dall'integrale della curvatura esteso alla superficie del triangolo.

Se la curvatura della superficie è positiva la somma degli angoli interni del triangolo geodetico supera PIGRECO di una quantità proporzionale alla sua area; se la curvatura è negativa la somma degli angoli interni è inferiore di PIGRECO.
Se la superficie ha curvatura costante, la somma degli angoli interni del triangolo geodetico differisce da PIGRECO della quantità KA, dove K è la curvatura, A è l'area del triangolo.

Tratto da http://www.matematicamente.it