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Gauss, il geodeta

Pare che Gauss, ancora quindicenne, pensasse alla possibilità di costruire una geometria coerente partendo dalla negazione del V postulato; egli poi sembrò convinto, come del resto lo erano gli ambienti matematici di Gottinga, della ineluttabile necessità del postulato euclideo.
Solo assai lentamente, a partire dal 1813, si fece strada in lui una geometria diversa da quella euclidea.

Gauss fu il primo ad avere una chiara visione da una geometria coerente in cui il V postulato fosse sostituito dalla sua negazione.
L'idea era nata dopo circa 20 anni di sporadici tentativi di dimostrare il V postulato.

Già nel 1799, in una lettera datata 17 dicembre, Gauss scriveva a Farkas Bolyai, suo ex compagno di Università, che gli chiedeva un'opinione sui suoi lavori concernenti il V postulato:
 
Mi dispiace di non aver sfruttato la nostra vicinanza di un tempo per conoscere meglio i tuoi lavori sui primi fondamenti della geometria, mi sarei così risparmiato molte inutili fatiche (…) Per quanto mi riguarda, ho compiuto alcuni progressi nel mio lavoro. Comunque, la strada che ho scelto non porta affatto allo scopo che ci siamo prefissi [dimostrare il V postulato] (...) Sembra piuttosto spingermi a dubitare della verità della stessa geometria.
E' vero che ho ottenuto molti risultati che per la maggior parte sarebbero delle dimostrazioni, ma ai miei occhi essi non dimostrano quasi niente. Per esempio, se potessi provare che è possibile (...) un triangolo la cui area è maggiore di ogni area assegnata, allora sarei in grado di dimostrare in modo rigoroso tutta la geometria.
Molti accetterebbero questo come un assioma, ma non io! E' senza dubbio possibile che l'area sia sempre minore di un certo valore, per quanto lontani fra loro si scelgano i vertici del triangolo. Posseggo molti di questi teoremi, ma in nessuno trovo qualcosa di soddisfacente.

  
Le riflessioni che Gauss andava elaborando sull'argomento non furono mai pubblicate in vita. Egli infatti preferì affidarle a lettere private che scriveva agli amici pregandoli di mantenere il silenzio per evitare "le strida dei Beoti". Gauss scriveva in una lettera inviata a Bessel il 27 gennaio 1829:
 
Nelle ore libere ho pensato anche a un altro tema, che per me è già vecchio di quasi quarant'anni, e cioè ai primi fondamenti della geometria: non so se Le ho mai parlato delle mie vedute in proposito. Anche qui ho consolidato ulteriormente molte cose, e la mia convinzione, che non possiamo fondare la geometria completamente a priori, è divenuta, se possibile, ancora più salda. Nel frattempo, non mi deciderò ancora per molto tempo a elaborare per una pubblicazione le mie molto estese ricerche sull'argomento, e ciò forse non avverrà mai durante la mia vita, perché temo gli strilli dei Beoti, qualora volessi completamente esprimere le mie vedute…

  
Queste prese di posizione da parte di Gauss sono una testimonianza del clima culturale sfavorevole che circondava questo primo svilupparsi delle prospettive non euclidee; egli temeva infatti di cadere nel ridicolo presso i matematici del tempo che non avrebbero compreso i suoi risultati.
Gauss diceva infatti di provare "una grande avversione a esser trascinato in una qualunque polemica"
[lettera a H.K. Schumacher].
I Beoti di cui parla Gauss sono quasi sicuramente i seguaci di Kant, i quali ritengono che la geometria sia una forma di conoscenza sintetica ma a priori.
Il 9 aprile 1830 scrive ancora a Bessel:
 
Secondo la mia più profonda convinzione, la dottrina dello spazio occupa rispetto alla nostra conoscenza a priori un posto del tutto diverso da quello della teoria pura delle grandezze; infatti manca del tutto alla nostra conoscenza della prima quella completa convinzione della sua necessità (e quindi anche della sua assoluta verità), che è propria della seconda; dobbiamo umilmente riconoscere che mentre il numero è un puro prodotto del nostro spirito, lo spazio ha una realtà anche al di fuori del nostro spirito, e le sue leggi noi non le possiamo descrivere interamente a priori.

  
Il primo novembre 1844 scriverà a Schumacher:
 
Osserverete la stessa cosa (l'incompetenza matematica) nei filosofi contemporanei Schelling, Hegel, Nees von Essembeck, e nei loro seguaci; non vi fanno rizzare i capelli sulla testa con le loro definizioni? Leggete nella storia della filosofia antica quelle che i grandi uomini di quell'epoca, Platone ed altri (escludo Aristotele) davano come spiegazioni. Ed anche con lo stesso Kant spesso le cose non vanno molto meglio; secondo me, la sua distinzione fra proposizioni analitiche e sintetiche è una di quelle cose che cadono nella banalità o sono false.

  
Gauss si convinceva sempre di più del fatto che, se l'aritmetica e tutta la matematica che si fonda sul numero sono a priori, la geometria dello spazio fa riferimento a una realtà che è al di fuori della nostra mente, quindi una realtà da investigare empiricamente.
Per capire come sia giunto a queste convinzioni è utile tenere presente la sua attività di geodeta e i suoi studi sulla geometria differenziale delle superfici.