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Il postulato iperbolico
Trattando la questione delle rette parallele abbiamo visto una negazione del postulato di Playfair; da qui in poi svilupperemo la geometria iperbolica sulla base di una versione più forte della negazione di tale postulato.




POSTULATO 1
Se P è un punto qualunque e AB una retta qualunque che non passa per P (nemmeno se prolungata), allora vi sono due rette YPZ e WPX passanti per P tali che:
i) YPX non è un'unica retta,
ii) YPZ e WPX sono entrambe parallele ad AB,
iii) nessuna retta passante per P interna a ^YPX è parallela ad AB.

La condizione i) afferma semplicemente che YPZ e WPX sono rette distinte.
Questo postulato comprende la negazione del postulato di Playfair vista in precedenza, e in più due ulteriori affermazioni. Innanzitutto asserisce che l'esistenza di parallele multiple è un fenomeno universale che si verifica per ogni punto P del piano e per ogni retta AB non passante per esso. mentre il postulato di Playfair garantiva che questo accadesse almeno una volta, per un punto ed una retta particolari.
Inoltre le due parallele del postulato 1 sono le due parallele più basse, in ambo le direzioni, passanti per P; la condizione iii) afferma infatti che una retta per P al di sotto di una delle due non sarebbe parallela ad AB. Questa proprietà non era specificata per le parallele del postulato di Playfair.

 

I termini primitivi della geometria iperbolica sono gli stessi che intervengono nella geometria euclidea: punto, linea retta, superficie e superficie piana.
Anche gli altri termini vengono mantenuti, con l'aggiunta di nuovi che definiremo via via.
Gli assiomi sono le nozioni comuni euclidee e tutti i postulati eccetto il V, che viene sostituito dal POSTULATO 1.
Questo fa sì che restino validi tutti i teoremi della geometria neutrale, e cioè i teoremi che si possono dimostrare senza l'utilizzo del V postulato.
Inizieremo quindi la conoscenza della geometria iperbolica osservando soprattutto gli aspetti in cui diverge dalla geometria euclidea.
   
Credo che nella conoscenza di nuovi oggetti geometrici non si possa prescindere dai principali teoremi che li coinvolgono, nella trattazione che segue ne presenterò perciò diversi, della maggior parte di essi però fornirò solo l'enunciato e qualche breve osservazione affinché la trattazione risulti il più possibile divulgativa. Per conoscerne le dimostrazioni ed approfondire in generale l'argomento suggerisco alcuni dei testi elencati nella bibliografia: vedi libri e siti consigliati.